Найди значение корня уравнения (3x⁴)⁴⋅(4x⁷)³=−72², и запиши наибольший корень первым в ответе

Хорошо! Давайте разберемся с этим уравнением. Нам нужно найти значение корня уравнения

\[(3x^4)^4 \cdot (4x^7)^3 = -72^2\]

Первым шагом мы можем упростить левую часть уравнения. Возведение в степень можно выполнить для каждого элемента в скобках:

\[(81x^{16}) \cdot (64x^{21}) = 5184\]

Умножим числа:

\[5184x^{16+21} = 5184\]

\[5184x^{37} = 5184\]

Теперь делим обе стороны на 5184, чтобы избавиться от числа:

\[x^{37} = 1\]

Для решения этого уравнения, нам нужно найти значение \(x\), для которого \(x^{37} = 1\). Обратите внимание, что корнем уравнения \(x^{37} = 1\) является отрицательное значение, так как правая часть уравнения равна 1, а левая часть должна равняться -1. То есть значение -1 удовлетворяет данному уравнению.

Теперь найдем остальные корни уравнения. Для этого вспомним, что действие экспоненты дает нам \(n\) корней \(n\)-ой степени комплексных чисел. В нашем случае, у нас есть корень четвертой степени, поэтому у нас должно быть 4 различных корня.

Возьмем корень четвертой степени из 1:

\[\sqrt[4]{1} = \pm 1\]

То есть \(x = 1\) и \(x = -1\) - два корня у нас уже есть.

Теперь найдем корни из \(-1\). Возведем -1 в степень четыре:

\[\sqrt[4]{-1} = \pm i\]

То есть \(x = i\) и \(x = -i\) - еще два корня.

Общее решение уравнения \(x^{37} = 1\) будет выглядеть следующим образом:

\[x = \pm 1, \pm i\]

Согласно условию задачи, нам нужно записать наибольший корень первым в ответе. Поэтому, наибольший корень - это 1. Таким образом, ответ на задачу будет:

\[x = 1, -1, i, -i\]

Надеюсь, ответ был понятен! Если у вас остались дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!