На сколько раз уменьшился объем идеального одноатомного газа с количеством вещества равным 10 моль, если

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Закон Джоуля-Томсона для одноатомного идеального газа гласит, что изменение его температуры в результате изоэнтропического процесса (процесса без теплообмена) связано с изменением его давления:

\[\Delta T = \frac{{\mu C_p}}{{R}} \cdot \left( \frac{{\Delta P}}{{P}} \right)\]

где \(\Delta T\) - изменение температуры, \(\mu\) - молярная масса газа, \(C_p\) - молярная теплоёмкость при постоянном давлении, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(\Delta P\) - изменение давления, \(P\) - начальное давление.

В нашем случае мы знаем только работу \(a\), которая была совершена при сжатии газа. Чтобы найти изменение объема, нам необходимо использовать формулу для работы, совершенной при изоэнтропическом процессе:

\[a = -\Delta P \cdot V\]

где \(a\) - работа, \(\Delta P\) - изменение давления, \(V\) - объем.

Для одноатомного идеального газа молярная теплоёмкость при постоянном давлении равна \(C_p = \frac{5}{2}R\).

Молярная масса газа равна:

\[\mu = \frac{M}{N}\]

где \(M\) - масса газа, \(N\) - количество вещества.

У нас дано, что количество вещества равно 10 моль. Для одного моля газа атомная масса равна молярной массе, поэтому масса газа будет равна:

\[M = \mu \cdot N\]

Теперь мы можем найти массу газа, что позволит нам определить молярную теплоемкость при постоянном давлении:

\[C_p = \frac{5}{2}R\]

Теперь мы должны выразить изменение давления и объема через известные значения. Из формулы для работы мы можем выразить изменение давления:

\[\Delta P = - \frac{a}{V}\]

Теперь мы можем подставить выражение для изменения давления и молярную теплоемкость в закон Джоуля-Томсона и выразить изменение температуры:

\[\Delta T = \frac{{\mu C_p}}{{R}} \cdot \left( \frac{{-a}}{{V \cdot P}} \right)\]

Мы знаем, что газ является идеальным, поэтому уравнение состояния газа запишется как:

\[PV = \mu RT\]

где \(P\) - давление, \(V\) - объем, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура.

Мы ищем изменение объема, поэтому нам нужно выразить начальный объем через известные значения:

\[V = \frac{{\mu RT}}{{P}}\]

Теперь мы можем подставить это выражение для объема в формулу для изменения температуры и решить уравнение относительно изменения температуры.

\[\Delta T = \frac{{\mu C_p}}{{R}} \cdot \left( \frac{{-a}}{{\frac{{\mu RT}}{{P}} \cdot P}} \right)\]

Заметим, что молярная масса газа \(\mu\) и универсальная газовая постоянная \(R\) сокращаются, поэтому получаем:

\[\Delta T = \frac{{5}}{{2}} \cdot (-a) \cdot \frac{{P^2}}{{RT^2}}\]

Теперь мы можем определить изменение температуры, а затем определить изменение объема с использованием уравнения состояния газа:

\[\Delta V = \frac{{\Delta T \cdot V \cdot T}}{{P}}\]

Подставим значение изменения температуры и начальное значение объема в это уравнение и решим его:

\[\Delta V = \frac{{\frac{{5}}{{2}} \cdot (-a) \cdot \frac{{P^2}}{{RT^2}} \cdot \frac{{\mu RT}}{{P}} \cdot T}}{{P}}\]

Сократим множители и получим:

\[\Delta V = \frac{{5}}{{2}} \cdot (-a) \cdot \frac{{\mu T}}{{RT}}\]

Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнение:

\[\Delta V = \frac{{5}}{{2}} \cdot (-6rt) \cdot \frac{{10 \cdot T}}{{8,314 \cdot T}}\]

Теперь остается только вычислить значение:

\[\Delta V = -\frac{{15}}{{8,314}} \cdot 6 \approx -0,01084 \, м^3\]

Таким образом, объем идеального одноатомного газа уменьшился примерно на \(0,01084 \, м^3\)