На сколько процентов государство должно изменить налог после увеличения на 25% (до t1 = 1,25t0), чтобы достичь

Для решения данной задачи нам необходимо найти процентное изменение налога, при котором сумма налоговых сборов будет максимальной. Для этого мы будем использовать метод математического анализа.

Пусть $N$ - сумма налоговых сборов, $t$ - налог за единицу товара, $V$ - объем производства товара.

Сумма налоговых сборов может быть вычислена как произведение налога на объем производства товара:
$N=t\cdot V$.

После увеличения налога на 25%, новый налог будет равен $1.25t_0$, где $t_0$ - исходный налог. Объем производства товара при этом не меняется и равен $V=7000-t$.

Таким образом, новая сумма налоговых сборов будет равна:
$N_1=(1.25t_0)\cdot V=(1.25t_0)\cdot (7000-t)$.

Нам нужно найти процентное изменение налога, чтобы сумма налоговых сборов была максимальной. Для этого вычислим производную суммы налоговых сборов по налогу $t_0$ и найдем ее точку экстремума.

$\frac{d{N}_1}{d{t}_0}=\frac{d}{d{t}_0}[(1.25t_0)\cdot (7000-t)]$.

Производную получим с помощью правила производной произведения и цепного правила:
$\frac{d{N}_1}{d{t}_0}=1.25(7000-t)-1.25t_0=8750-2.5t-1.25t_0$.

Чтобы найти точку экстремума, приравняем производную к нулю:
$\frac{d{N}_1}{d{t}_0}=0$.

Решая данное уравнение относительно $t_0$, получаем:
$8750-2.5t-1.25t_0=0$.

Теперь решим это уравнение относительно $t_0$:
$1.25t_0=8750-2.5t$.

Разделим обе части уравнения на 1.25:
$t_0=\frac{8750-2.5t}{1.25}$.

Теперь найдем значение налога $t_0$. Для этого подставим значение объема производства товара $V=7000-t$ и налога $t=1.25t_0$ в уравнение выше:

$t_0=\frac{8750-2.5(1.25t_0)}{1.25}$.

Выполним вычисления:
$$t_0=\frac{8750-3.125t_0}{1.25}.$$

Перенесем $3.125t_0$ налево и умножим обе части уравнения на 1.25:
$$1.25t_0+3.125t_0=8750.$$

Складываем коэффициенты при $t_0$ в левой части и решаем получившееся линейное уравнение:
$$4.375t_0=8750.$$

Делим обе части уравнения на 4.375:
$$t_0=\frac{8750}{4.375}.$$

Вычисляем значение:
$$t_0=2000.$$

Таким образом, для достижения максимальной суммы налоговых сборов, государство должно изменить налог на 2000 рублей.

Для проверки можно подставить найденное значение $t_0$ в исходное уравнение для суммы налоговых сборов $N_1$, чтобы убедиться, что сумма будет максимальной.