На сколько процентов государство должно изменить налог после увеличения на 25% (до t1 = 1,25t0), чтобы достичь

Для решения данной задачи нам необходимо найти процентное изменение налога, при котором сумма налоговых сборов будет максимальной. Для этого мы будем использовать метод математического анализа.

Пусть \(N\) - сумма налоговых сборов, \(t\) - налог за единицу товара, \(V\) - объем производства товара.

Сумма налоговых сборов может быть вычислена как произведение налога на объем производства товара:
\(N = t \cdot V\).

После увеличения налога на 25%, новый налог будет равен \(1.25t_0\), где \(t_0\) - исходный налог. Объем производства товара при этом не меняется и равен \(V = 7000 - t\).

Таким образом, новая сумма налоговых сборов будет равна:
\(N_1 = (1.25t_0) \cdot V = (1.25t_0) \cdot (7000 - t)\).

Нам нужно найти процентное изменение налога, чтобы сумма налоговых сборов была максимальной. Для этого вычислим производную суммы налоговых сборов по налогу \(t_0\) и найдем ее точку экстремума.

\(\frac{dN_1}{dt_0} = \frac{d}{dt_0}[(1.25t_0) \cdot (7000 - t)]\).

Производную получим с помощью правила производной произведения и цепного правила:
\(\frac{dN_1}{dt_0} = 1.25(7000 - t) - 1.25t_0 = 8750 - 2.5t - 1.25t_0\).

Чтобы найти точку экстремума, приравняем производную к нулю:
\(\frac{dN_1}{dt_0} = 0\).

Решая данное уравнение относительно \(t_0\), получаем:
\(8750 - 2.5t - 1.25t_0 = 0\).

Теперь решим это уравнение относительно \(t_0\):
\(1.25t_0 = 8750 - 2.5t\).

Разделим обе части уравнения на 1.25:
\(t_0 = \frac{8750 - 2.5t}{1.25}\).

Теперь найдем значение налога \(t_0\). Для этого подставим значение объема производства товара \(V = 7000 - t\) и налога \(t = 1.25t_0\) в уравнение выше:

\(t_0 = \frac{8750 - 2.5(1.25t_0)}{1.25}\).

Выполним вычисления:
\[t_0 = \frac{8750 - 3.125t_0}{1.25}.\]

Перенесем \(3.125t_0\) налево и умножим обе части уравнения на 1.25:
\[1.25t_0 + 3.125t_0 = 8750.\]

Складываем коэффициенты при \(t_0\) в левой части и решаем получившееся линейное уравнение:
\[4.375t_0 = 8750.\]

Делим обе части уравнения на 4.375:
\[t_0 = \frac{8750}{4.375}.\]

Вычисляем значение:
\[t_0 = 2000.\]

Таким образом, для достижения максимальной суммы налоговых сборов, государство должно изменить налог на 2000 рублей.

Для проверки можно подставить найденное значение \(t_0\) в исходное уравнение для суммы налоговых сборов \(N_1\), чтобы убедиться, что сумма будет максимальной.