На сколько градусов отклоняется диагональ куба от его граней? В ответ запишите квадрат косинуса, умноженный

Решение:

Для начала рассмотрим ситуацию, когда диагональ куба перпендикулярна одной из его граней. В этом случае, мы можем нарисовать правильный треугольник, в котором диагональ куба будет являться гипотенузой, а одна из граней - одним из катетов. Такой треугольник получится прямоугольным.

Давайте обозначим длину ребра куба как \(a\). Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике получаем:
\[a^2 + a^2 = \text{диагональ}^2\]
\[2a^2 = \text{диагональ}^2\]
\[\text{диагональ} = \sqrt{2}a\]

Теперь, чтобы найти угол между диагональю и гранями куба, мы можем воспользоваться функцией косинуса. В нашем случае, это будет угол между диагональю и одной из граней куба. Пусть этот угол обозначается как \(\theta\).

Косинус угла \(\theta\) можно найти, разделив длину прилежащего катета (в данном случае \(a\)) на гипотенузу (в данном случае \(\text{диагональ} = \sqrt{2}a\)):
\[\cos(\theta) = \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь, чтобы получить квадрат косинуса угла \(\theta\), мы возводим полученное значение в квадрат:
\[(\cos(\theta))^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Итак, ответ на задачу:
Квадрат косинуса угла между диагональю куба и его гранями равен \(\frac{1}{2}\).

Для лучшего понимания, вот краткое пошаговое решение задачи:
1. Обозначим длину ребра куба как \(a\).
2. Используя теорему Пифагора, найдем длину диагонали куба: \(\text{диагональ} = \sqrt{2}a\).
3. Для нахождения угла между диагональю и гранями куба, используем функцию косинуса: \(\cos(\theta) = \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
4. Возводим полученное значение в квадрат: \((\cos(\theta))^2 = \frac{1}{2}\).
5. Ответ: квадрат косинуса угла между диагональю куба и его гранями равен \(\frac{1}{2}\).

Надеюсь, данное объяснение помогло разобраться в решении задачи!