На плоскости имеется прямоугольная система координат XOY и базис (e_1 ) ̅, (e_2 ) ̅, состоящий из векторов единичной

Для начала создадим точки А, В и С на плоскости XOY в соответствии с их координатами:

Точка А: \(A(6;3)\)

Точка В: \(B(-2;-7)\)

Точка С: \(C(-5;3)\)

Теперь создадим векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в базисе \(\vec{e_1}\) и \(\vec{e_2}\) в соответствии с их координатами:

Вектор \(\vec{a}\): \(\vec{a}=(2;4)\)

Вектор \(\vec{b}\): \(\vec{b}=(-3;1)\)

Теперь найдем координаты векторов \(\vec{d}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\), \(\overline{AB}\), \(\overline{AC}\) и \(\overline{BC}\) в базисе \(\vec{e_1}\) и \(\vec{e_2}\).

Для начала рассмотрим вектор \(\vec{d}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\) с коэффициентами \(\alpha=2\) и \(\beta=0\):

\[
\vec{d}=2\vec{a}+0\vec{b}=2(2;4)+0(-3;1)=(4;8)
\]

Следовательно, координаты вектора \(\vec{d}\) в базисе \(\vec{e_1}\) и \(\vec{e_2}\) равны (4;8).

Теперь найдем векторы \(\overline{AB}\), \(\overline{AC}\) и \(\overline{BC}\):

Вектор \(\overline{AB}\) можно найти вычитая координаты точки B из координат точки A:

\[
\overline{AB} = B - A = (-2; -7) - (6; 3) = (-8; -10)
\]

Координаты вектора \(\overline{AB}\) в базисе \(\vec{e_1}\) и \(\vec{e_2}\) равны (-8; -10).

Вектор \(\overline{AC}\) можно найти вычитая координаты точки C из координат точки A:

\[
\overline{AC} = C - A = (-5; 3) - (6; 3) = (-11; 0)
\]

Координаты вектора \(\overline{AC}\) в базисе \(\vec{e_1}\) и \(\vec{e_2}\) равны (-11; 0).

Вектор \(\overline{BC}\) можно найти вычитая координаты точки C из координат точки B:

\[
\overline{BC} = C - B = (-5; 3) - (-2; -7) = (-3; 10)
\]

Координаты вектора \(\overline{BC}\) в базисе \(\vec{e_1}\) и \(\vec{e_2}\) равны (-3; 10).

Таким образом, мы нашли координаты векторов \(\vec{d}\), \(\overline{AB}\), \(\overline{AC}\) и \(\overline{BC}\) в базисе \(\vec{e_1}\) и \(\vec{e_2}\), а именно:

\[
\vec{d}=(4;8), \quad \overline{AB}=(-8;-10), \quad \overline{AC}=(-11;0), \quad \overline{BC}=(-3; 10)
\]