Каковы координаты точки максимума функции y = √(-62-16x-x^2)?

Для начала рассмотрим функцию \(y = \sqrt{-62 - 16x - x^2}\). Чтобы найти координаты точки максимума этой функции, необходимо провести некоторые вычисления.

1. Замените выражение \(\sqrt{-62 - 16x - x^2}\) на другую переменную, например, обозначим \(y\) как \(f(x)\): \(f(x) = \sqrt{-62 - 16x - x^2}\).

2. Поскольку мы ищем точку максимума, необходимо найти экстремумы функции. Зная, что максимум функции находится в вершине параболы, проведём процесс дифференцирования. Дифференцируем функцию \(f(x)\) по переменной \(x\).

\[
f"(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{-62 - 16x - x^2}
\]

3. Производная функции позволяет нам найти точки, в которых она достигает экстремумов. Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

\[
f"(x) = \frac{-16 - 2x}{2\sqrt{-62 - 16x - x^2}} = 0
\]

\[
-16 - 2x = 0
\]

4. Решаем уравнение и находим значение \(x\):

\[
-16 - 2x = 0
\]

\[
2x = -16
\]

\[
x = -8
\]

Таким образом, мы нашли значение \(x\), в котором функция \(f(x)\) достигает экстремума.

5. Чтобы найти соответствующее значение \(y\), подставим найденное \(x\) обратно в исходное уравнение \(f(x) = \sqrt{-62 - 16x - x^2}\):

\[
f(-8) = \sqrt{-62 - 16(-8) - (-8)^2}
\]

\[
f(-8) = \sqrt{-62 + 128 - 64}
\]

\[
f(-8) = \sqrt{2}
\]

Таким образом, координаты точки максимума функции \(y = \sqrt{-62 - 16x - x^2}\) равны \((-8, \sqrt{2})\).