На основе представленных в таблице данных о производной y=f′(x), определите следующее: а) интервалы, на которых функция

Хорошо! Для решения этой задачи нам понадобится таблица данных о производной функции \(y=f"(x)\). Для начала, давайте разберемся с определениями интервалов, на которых функция возрастает и убывает:

1. Функция возрастает на интервале, если значения ее производной положительны на этом интервале.
2. Функция убывает на интервале, если значения ее производной отрицательны на этом интервале.

Определимся с интервалами, на которых функция возрастает и убывает, используя данные из таблицы.

Теперь перейдем к определению точек, в которых функция достигает максимума и минимума:

3. Точка, в которой функция достигает максимума, называется точкой максимума. Она соответствует месту, где функция переходит от возрастания к убыванию.
4. Точка, в которой функция достигает минимума, называется точкой минимума. Она соответствует месту, где функция переходит от убывания к возрастанию.

Теперь разберемся, как найти интервалы, на которых функция возрастает и убывает, а также точки максимума и минимума, используя таблицу с данными о производной функции.

а) Для определения интервалов, на которых функция возрастает, найдем все значения производной, которые положительны. В этих местах функция возрастает.

б) Для определения интервалов, на которых функция убывает, найдем все значения производной, которые отрицательны. В этих местах функция убывает.

в) Чтобы найти точки, в которых функция достигает максимума, ищем значения производной, которые меняются с положительных на отрицательные. Точки, где это происходит, будут точками максимума.

г) Чтобы найти точки, в которых функция достигает минимума, ищем значения производной, которые меняются с отрицательных на положительные. Точки, где это происходит, будут точками минимума.

Теперь, давайте вместе проанализируем таблицу с данными о производной и определим интервалы, на которых функция возрастает и убывает, а также точки, в которых функция достигает максимума и минимума.

Таблица данных о производной функции:
\[
\begin{align*}
x & f"(x) \\
\hline
1 & 2 \\
2 & 1 \\
3 & 0 \\
4 & -1 \\
\end{align*}
\]

а) Интервалы, на которых функция возрастает:
Функция возрастает на интервалах, где значение производной положительно. В нашей таблице значение производной положительно при \(x = 1\) и \(x = 2\). Таким образом, функция возрастает на интервале от 1 до 2.

б) Интервалы, на которых функция убывает:
Функция убывает на интервалах, где значение производной отрицательно. В нашей таблице значение производной отрицательно при \(x = 3\) и \(x = 4\). Таким образом, функция убывает на интервале от 3 до 4.

в) Точки, в которых функция достигает максимума:
Максимум достигается, когда значение производной меняется с положительного на отрицательное. В нашем случае это происходит при \(x = 2\). Таким образом, точка (\(2, f(2)\)) является точкой максимума.

г) Точки, в которых функция достигает минимума:
Минимум достигается, когда значение производной меняется с отрицательного на положительное. В нашем случае это происходит при \(x = 4\). Таким образом, точка (\(4, f(4)\)) является точкой минимума.

Таким образом, ответ на задачу:
а) Функция возрастает на интервале от 1 до 2.
б) Функция убывает на интервале от 3 до 4.
в) Точка максимума: (\(2, f(2)\)).
г) Точка минимума: (\(4, f(4)\)).

Надеюсь, это понятно и помогло вам разобраться в задаче! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.