На какую цифру заканчивается число, полученное после перемножения всех чисел от 1 до 1001 мистером Фоксом?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно перемножить все числа от 1 до 1001. Объем вычислений является очень большим, поэтому мы воспользуемся некоторыми математическими свойствами.

Прежде всего, заметим, что любое число, заканчивающееся на 0, будет иметь последний разряд равный 0 после умножения на любой другой множитель. Поэтому нам необходимо проанализировать только последний разряд числа.

Теперь рассмотрим последний разряд каждого числа от 1 до 1001:

1: Поскольку 1 заканчивается на 1, последний разряд равен 1.
2: 2 заканчивается на 2, последний разряд равен 2.
3: 3 заканчивается на 3, последний разряд равен 3.
4: 4 заканчивается на 4, последний разряд равен 4.
5: 5 заканчивается на 5, последний разряд равен 5.
...
10: 10 заканчивается на 0, последний разряд равен 0.
...
20: 20 заканчивается на 0, последний разряд равен 0.
...
100: 100 заканчивается на 0, последний разряд равен 0.

Мы видим, что после умножения на 10, у чисел от 1 до 100 последний разряд всегда 0. Это будет повторяться и для чисел от 101 до 200, от 201 до 300 и так далее. Таким образом, у нашего итогового числа последний разряд также будет равен 0.

Теперь рассмотрим оставшиеся множители, которые не являются кратными 10. Если у нас есть два числа, заканчивающихся на \(a\) и \(b\), то результат их умножения будет заканчиваться на произведение \(a \times b\). Мы можем использовать это свойство для нахождения последнего разряда числа, полученного после перемножения всех чисел от 1 до 1001.

Поскольку цифры от 1 до 9 являются простыми числами, они не могут быть получены путем перемножения других чисел. Поэтому, они будут сохранять свои последние разряды при умножении на любое другое число.

Теперь рассмотрим последний разряд чисел от 10 до 1001:

10: Поскольку 1 и 0 заканчиваются на 1 и 0 соответственно, последний разряд равен 1.
11: 1 и 1 заканчиваются на 1 и 1 соответственно, последний разряд равен 1.
12: 1 и 2 заканчиваются на 1 и 2 соответственно, последний разряд равен 2.
13: 1 и 3 заканчиваются на 1 и 3 соответственно, последний разряд равен 3.
14: 1 и 4 заканчиваются на 1 и 4 соответственно, последний разряд равен 4.
...
20: Так как мы уже рассмотрели число 20, знаем, что последний разряд равен 0.
...
100: Так как мы уже рассмотрели число 100, знаем, что последний разряд равен 0.
...
1000: 1 и 0 заканчиваются на 1 и 0 соответственно, последний разряд равен 0.
1001: 1 и 1 заканчиваются на 1 и 1 соответственно, последний разряд равен 1.

Путем анализа всех этих чисел, мы видим, что последний разряд нашего итогового числа будет равен произведению последних разрядов всех чисел от 1 до 9 (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9), которое равно 362880. Поскольку мы ищем последний разряд, который будет заканчиваться на эту цифру, ответом на задачу является цифра 0.

Таким образом, число, полученное после перемножения всех чисел от 1 до 1001 мистером Фоксом, заканчивается на цифру 0.