На какой высоте энергия движения тела будет в два раза меньше его потенциальной энергии, если оно свободно падает

Конечная потенциальная энергия тела, падающего с высоты без начальной скорости, полностью превращается в его кинетическую энергию, когда оно достигает некоторой конечной скорости. На этой высоте энергия движения будет в два раза меньше потенциальной энергии.

Для решения этой задачи можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. Запишем его уравнение:

\[E_{\text{пот}} + E_{\text{дв}} = E_{\text{пот}_f} + E_{\text{дв}_f}\]

где:
\(E_{\text{пот}}\) - начальная потенциальная энергия,
\(E_{\text{дв}}\) - начальная кинетическая энергия (равна нулю, так как тело падает без начальной скорости),
\(E_{\text{пот}_f}\) - конечная потенциальная энергия,
\(E_{\text{дв}_f}\) - конечная кинетическая энергия.

Поскольку тело падает без начальной скорости, начальная кинетическая энергия \(E_{\text{дв}}\) равна нулю. Также известно, что конечная кинетическая энергия равна половине массы тела, умноженной на конечную скорость в квадрате:

\[E_{\text{дв}_f} = \frac{1}{2}mv_f^2\]

где \(m\) - масса тела (предполагая, что масса тела неизменна).

Конечная потенциальная энергия \(E_{\text{пот}_f}\) равна \(mgh\), где \(h\) - высота падения.

Подставляя все значения в уравнение сохранения механической энергии, получим:

\[0 + 0 = mgh + \frac{1}{2}mv_f^2\]

Так как начальная кинетическая энергия равна нулю, то уравнение упрощается:

\[mgh = \frac{1}{2}mv_f^2\]

Сократим массу \(m\) с обеих сторон:

\[gh = \frac{1}{2}v_f^2\]

Теперь найдем высоту \(h\), при которой энергия движения будет вдвое меньше потенциальной энергии.

Разделим обе части уравнения на \(g\):

\[h = \frac{1}{2g}v_f^2\]

Таким образом, высота \(h\) будет равна половине квадрата конечной скорости \(v_f\), деленной на ускорение свободного падения \(g\).