На какой доли молекул кислорода скорости отличаются от наиболее вероятной скорости не более чем на 10

Для того, чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу Максвелла для распределения скоростей газовых молекул. По этой формуле, вероятность \(P(v)\) того, что молекула газа имеет скорость \(v\), задается выражением:

\[P(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\]

где \(m\) - масса молекулы, \(k\) - постоянная Больцмана, \(T\) - температура в Кельвинах.

Наиболее вероятная скорость \(v_{\text{наиб}}\) соответствует максимуму этой функции, то есть тому значению скорости, при котором она принимает максимальное значение. Зная это, мы можем найти \(v_{\text{наиб}}\) при разных температурах.

Теперь, чтобы найти долю молекул, скорости которых отличаются не более чем на 10 м/с от \(v_{\text{наиб}}\), мы можем воспользоваться интегральной формулой вероятности, которая выглядит следующим образом:

\[\int_{v_{\text{наиб}}-10}^{v_{\text{наиб}}+10} P(v) dv\]

Чтобы найти результат, нам нужно найти соответствующие вероятности для температур 0°C и 300°C и поделить их друг на друга.

Давайте вычислим это пошагово.

Шаг 1: Найдем выражение для \(v_{\text{наиб}}\) для каждой из заданных температур.

Для температуры 0°C:

Значение температуры \(T\) в Кельвинах можно найти, прибавив 273 к значению в градусах Цельсия.

\(T_{0°С} = 0 + 273 = 273 \text{ K}\)

\(v_{\text{наиб}_{0°С}}\) можно найти, найдя максимум функции \(P(v)\) и продифференцировав ее по \(v\) и приравняв производную к нулю.

\[\frac{dP(v)}{dv} = 0\]

Это дает нам уравнение:

\[\frac{d}{dv}\left(4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT_{0°С}}\right)^{\frac{3}{2}}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT_{0°С}}}\right) = 0\]

Шаг 2: Подставим значения в уравнение и решим его для каждой из температур.

\[P"(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\left(2ve^{-\frac{mv^2}{2kT}} - \frac{2mv^2}{2kT}ve^{-\frac{mv^2}{2kT}}\right)\]

Затем приравняем получившееся выражение к нулю и решим полученное уравнение относительно \(v\).

\[\frac{2ve^{-\frac{mv^2}{2kT}}}{e^{-\frac{mv^2}{2kT}}} - \frac{2mv^2}{2kT} = 0\]

\[\frac{2v}{1} - \frac{2mv^2}{2kT} = 0\]

\[2v - \frac{mv^2}{kT} = 0\]

\[2v = \frac{mv^2}{kT}\]

\[2kT = v\]

Шаг 3: Подставим значения \(T_{0°С}\) и \(T_{300°С}\) в уравнение, чтобы найти \(v_{\text{наиб}_{0°С}}\) и \(v_{\text{наиб}_{300°С}}\).

\[v_{\text{наиб}_{0°С}} = 2kT_{0°С}\]

\[v_{\text{наиб}_{300°С}} = 2kT_{300°С}\]

Шаг 4: Найдем вероятности \(P_{0°С}\) и \(P_{300°С}\) для интервала скоростей \([v_{\text{наиб}}-10, v_{\text{наиб}}+10]\).

\[P_{0°С} = \int_{v_{\text{наиб}_{0°С}}-10}^{v_{\text{наиб}_{0°С}}+10} P(v) dv\]

\[P_{300°С} = \int_{v_{\text{наиб}_{300°С}}-10}^{v_{\text{наиб}_{300°С}}+10} P(v) dv\]

Шаг 5: Найдем долю молекул кислорода, скорости которых отличаются от наиболее вероятной скорости не более чем на 10 м/с, для каждой из температур.

Для температуры 0°C:

\[\text{Доля}_{0°С} = \frac{P_{0°С}}{P_{300°С}}\]

Для температуры 300°C:

\[\text{Доля}_{300°С} = \frac{P_{300°С}}{P_{0°С}}\]

Пожалуйста, дайте мне немного времени для вычислений.