На каких значениях b неравенства (6b-1)/b не превышают (16-2b)/(9-b)?

Давайте решим данную задачу шаг за шагом, чтобы ответ был максимально понятным. У нас есть неравенство:

\[\frac{6b-1}{b} \leq \frac{16-2b}{9-b}\]

Для начала, давайте избавимся от дробей. Умножим обе части неравенства на \(b(9-b)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[(6b-1) \cdot (9-b) \leq (16-2b) \cdot b\]

Распишем полученное равенство:

\[54b - 6b^2 - 9 + b \leq 16b - 2b^2\]

Теперь соберем все члены в одну сторону и упростим уравнение:

\[0 \leq 5b^2 - 33b + 9\]

Теперь нам нужно найти значения \(b\), при которых это неравенство выполняется. Для этого давайте воспользуемся факторизацией или дискриминантом. Поскольку уравнение не факторизуется очень просто, воспользуемся дискриминантом.

Дискриминант \(D\) уравнения \(ax^2 + bx + c\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае, уравнение имеет вид \(5b^2 - 33b + 9\), поэтому \(a = 5\), \(b = -33\), \(c = 9\). Подставляя значения в формулу дискриминанта, получаем:

\[D = (-33)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 1089 - 180 = 909\]

Поскольку дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два корня. Чтобы найти эти корни, воспользуйтесь формулой: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставив значения в эту формулу, мы получим:

\[b_1 = \frac{-(-33) + \sqrt{909}}{2 \cdot 5} \approx 6.136\]

\[b_2 = \frac{-(-33) - \sqrt{909}}{2 \cdot 5} \approx 0.864\]

Таким образом, значения \(b\) в интервале, где неравенство выполняется, это все значения \(b\), которые больше 0.864 и меньше 6.136.

Ответ: Неравенство \(\frac{6b-1}{b} \leq \frac{16-2b}{9-b}\) выполняется при \(b\) в интервале (0.864, 6.136).