На доске записаны 10 отличающихся натуральных чисел. Полина прибавила 4 к некоторым числам, отняла 44 от других чисел

Для решения данной задачи, давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Пусть у нас исходно были числа \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{10}\) на доске.

Шаг 2: Полина прибавила 4 к некоторым числам. Обозначим эти новые числа как \(b_1, b_2, b_3, \ldots, b_{10}\). Таким образом, \(b_i = a_i + 4\) для некоторых индексов \(i\).

Шаг 3: Полина отняла 44 от других чисел. Обозначим эти новые числа как \(c_1, c_2, c_3, \ldots, c_{10}\). Таким образом, \(c_i = a_i - 44\) для некоторых индексов \(i\).

Шаг 4: Полина отняла 444 от оставшихся чисел. Обозначим эти новые числа как \(d_1, d_2, d_3, \ldots, d_{10}\). Таким образом, \(d_i = a_i - 444\) для оставшихся индексов \(i\).

Шаг 5: Теперь у нас есть 10 новых чисел: \(b_1, b_2, b_3, \ldots, b_{10}\), \(c_1, c_2, c_3, \ldots, c_{10}\) и \(d_1, d_2, d_3, \ldots, d_{10}\).

Шаг 6: Мы хотим найти наименьшую сумму отличающихся чисел среди этих новых чисел.

Шаг 7: Чтобы сумма была минимальной, мы хотим, чтобы разница между числами была минимальна.

Шаг 8: Обратим внимание, что каждый новый элемент \(b_i\) увеличивается на 4 по сравнению с соответствующим исходным элементом \(a_i\).

Шаг 9: Каждый новый элемент \(c_i\) уменьшается на 44 по сравнению с соответствующим исходным элементом \(a_i\).

Шаг 10: Каждый новый элемент \(d_i\) уменьшается на 444 по сравнению с соответствующим исходным элементом \(a_i\).

Шаг 11: Нам нужно найти такие значения \(a_i\), для которых \(b_i = c_j = d_k\) для некоторых индексов \(i, j\) и \(k\).

Шаг 12: Заметим, что каждое \(b_i\) отличается от \(c_j\) и \(d_k\) на фиксированную величину: \(b_i - c_j = 48\) и \(b_i - d_k = 448\).

Шаг 13: Чтобы разница между числами была минимальной, мы должны выбрать такие значения \(a_i\), для которых разница \(b_i - c_j\) или \(b_i - d_k\) будет минимальной.

Шаг 14: Найдем такие значения \(a_i\), для которых разница \(b_i - c_j\) или \(b_i - d_k\) будет минимальной.

Шаг 15: Учтем, что \(b_i = a_i + 4\), \(c_j = a_j - 44\) и \(d_k = a_k - 444\).

Шаг 16: Исследуем разницу \(b_i - c_j\): \((a_i + 4) - (a_j - 44) = (a_i - a_j) + 48\).

Шаг 17: Исследуем разницу \(b_i - d_k\): \((a_i + 4) - (a_k - 444) = (a_i - a_k) + 448\).

Шаг 18: Мы хотим, чтобы эти разницы были минимальными. Заметим, что разница \((a_i - a_j) + 48\) может быть любым числом, кратным 48, а разница \((a_i - a_k) + 448\) может быть любым числом, кратным 448.

Шаг 19: Чтобы разница была минимальной, возьмем наименьшее кратное 48 и наименьшее кратное 448.

Шаг 20: Наименьшее кратное 48 - это 48, а наименьшее кратное 448 - это 448.

Шаг 21: Значит, наименьшая сумма отличающихся чисел, которая может появиться среди новых чисел, равна \(48 + 448 = 496\).

Итак, наименьшая сумма отличающихся чисел среди новых чисел равна 496.