На данной окружности (O, r) имеются касательные AB и AC. Длина отрезка OB равна 4,5, а длина отрезка OK равна

7,2. Найдите длину отрезка AC.

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства касательных и равенство углов.

1. Поскольку AB и AC являются касательными, то они перпендикулярны радиусам, проведенным в точках касания. Это значит, что угол BAO и угол CAO являются прямыми углами.

2. Также у нас имеется свойство касательной и хорды, которое говорит о том, что угол внутри окружности, образованный хордой (в данном случае отрезком BC) и касательной (в данном случае AB), равен половине угла, опирающегося на эту хорду (то есть угла BOC).

3. По условию задачи, длины отрезков OB и OK равны 4,5 и 7,2 соответственно. Мы можем использовать эти значения для решения.

Давайте решим задачу пошагово:

Шаг 1: Используем теорему Пифагора в треугольнике ОВК
В квадранте OBC мы можем применить теорему Пифагора, так как у нас есть прямые углы и известные длины сторон:
$$O{K}^2=O{B}^2+B{K}^2$$
Подставляем значения:
$${7.2}^2={4.5}^2+B{K}^2$$
$$51.84=20.25+B{K}^2$$
$$B{K}^2=31.59$$

Шаг 2: Находим длину отрезка BK
Из предыдущего шага мы получили, что $B{K}^2=31.59$. Чтобы найти значение BK, мы извлекаем квадратный корень из обеих сторон:
$$BK=\sqrt{31.59}$$
$$BK\approx 5.62$$

Шаг 3: Используем свойство касательной и хорды для нахождения угла BOC
Мы знаем, что угол BOC равен углу BAC (так как AB является касательной), а также углу внутри окружности, образованному хордой BC.
Перейдем к треугольнику BCK. Зная длины отрезков BK и OK, мы можем найти угол BKO с помощью тригонометрической функции тангенса:
$$\tan (\mathrm{\angle }BKO)=\frac{BK}{OK}$$
$$\tan (\mathrm{\angle }BKO)=\frac{5.62}{7.2}$$
$$\mathrm{\angle }BKO\approx 0.654$$

Теперь мы знаем угол BKO, а также угол BOC (который мы ищем) и угол внутри окружности, образованный хордой BC. Используя свойство, что этот угол равен половине угла, опирающегося на эту хорду, мы можем найти угол BOC:
$$2\cdot \mathrm{\angle }BOC=\mathrm{\angle }BKO$$
$$2\cdot \mathrm{\angle }BOC\approx 0.654$$
$$\mathrm{\angle }BOC\approx 0.327$$

Шаг 4: Используем свойство касательной и хорды для нахождения длины отрезка AC
Теперь у нас есть угол BOC, который мы ищем, и угол внутри окружности, образованный хордой AC. Используя свойство, что этот угол равен половине угла, опирающегося на эту хорду, мы можем найти угол BAC:
$$2\cdot \mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }BOC$$
$$2\cdot \mathrm{\angle }BAC\approx 0.327$$
$$\mathrm{\angle }BAC\approx 0.164$$

Итак, у нас имеется угол BAC, который равен углу внутри окружности, образованному хордой AC. Зная этот угол и радиус окружности r, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти длину отрезка AC:
$$\sin (\mathrm{\angle }BAC)=\frac{AC}{r}$$
Подставляем значения:
$$\sin (0.164)=\frac{AC}{r}$$
$$AC=\sin (0.164)\cdot r$$

Это пошаговое решение задачи, которое дает нам оценку длины отрезка AC.