На данной окружности (O, r) имеются касательные AB и AC. Длина отрезка OB равна 4,5, а длина отрезка OK равна

7,2. Найдите длину отрезка AC.

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства касательных и равенство углов.

1. Поскольку AB и AC являются касательными, то они перпендикулярны радиусам, проведенным в точках касания. Это значит, что угол BAO и угол CAO являются прямыми углами.

2. Также у нас имеется свойство касательной и хорды, которое говорит о том, что угол внутри окружности, образованный хордой (в данном случае отрезком BC) и касательной (в данном случае AB), равен половине угла, опирающегося на эту хорду (то есть угла BOC).

3. По условию задачи, длины отрезков OB и OK равны 4,5 и 7,2 соответственно. Мы можем использовать эти значения для решения.

Давайте решим задачу пошагово:

Шаг 1: Используем теорему Пифагора в треугольнике ОВК
В квадранте OBC мы можем применить теорему Пифагора, так как у нас есть прямые углы и известные длины сторон:
\[OK^2 = OB^2 + BK^2\]
Подставляем значения:
\[7.2^2 = 4.5^2 + BK^2\]
\[51.84 = 20.25 + BK^2\]
\[BK^2 = 31.59\]

Шаг 2: Находим длину отрезка BK
Из предыдущего шага мы получили, что \(BK^2 = 31.59\). Чтобы найти значение BK, мы извлекаем квадратный корень из обеих сторон:
\[BK = \sqrt{31.59}\]
\[BK \approx 5.62\]

Шаг 3: Используем свойство касательной и хорды для нахождения угла BOC
Мы знаем, что угол BOC равен углу BAC (так как AB является касательной), а также углу внутри окружности, образованному хордой BC.
Перейдем к треугольнику BCK. Зная длины отрезков BK и OK, мы можем найти угол BKO с помощью тригонометрической функции тангенса:
\[\tan(\angle BKO) = \frac{BK}{OK}\]
\[\tan(\angle BKO) = \frac{5.62}{7.2}\]
\[\angle BKO \approx 0.654\]

Теперь мы знаем угол BKO, а также угол BOC (который мы ищем) и угол внутри окружности, образованный хордой BC. Используя свойство, что этот угол равен половине угла, опирающегося на эту хорду, мы можем найти угол BOC:
\[2 \cdot \angle BOC = \angle BKO\]
\[2 \cdot \angle BOC \approx 0.654\]
\[\angle BOC \approx 0.327\]

Шаг 4: Используем свойство касательной и хорды для нахождения длины отрезка AC
Теперь у нас есть угол BOC, который мы ищем, и угол внутри окружности, образованный хордой AC. Используя свойство, что этот угол равен половине угла, опирающегося на эту хорду, мы можем найти угол BAC:
\[2 \cdot \angle BAC = \angle BOC\]
\[2 \cdot \angle BAC \approx 0.327\]
\[\angle BAC \approx 0.164\]

Итак, у нас имеется угол BAC, который равен углу внутри окружности, образованному хордой AC. Зная этот угол и радиус окружности r, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти длину отрезка AC:
\[\sin(\angle BAC) = \frac{AC}{r}\]
Подставляем значения:
\[\sin(0.164) = \frac{AC}{r}\]
\[AC = \sin(0.164) \cdot r\]

Это пошаговое решение задачи, которое дает нам оценку длины отрезка AC.