1) Який периметр перерізу тетраедра (SABC) площиною, яка проходить через точки L, N і S, якщо всі ребра тетраедра

Задача 1: Для решения этой задачи, нам необходимо найти периметр перереза площадкой через точки L, N и S в тетраэдре SABC, имеющем все ребра, равные 10 см, а SL и SN - их биссектрисы. При этом точки L и N находятся на ребрах AB и BC соответственно.

Для начала, давайте определим положение точки S относительно плоскости LSN. Поскольку SL и SN являются биссектрисами, то плоскость LSN делит тетраэдр SABC на две пирамидки SALN и SBNL.

Периметр перереза представляет собой сумму длин отрезков, которые образуют этот перерез. В нашем случае, для нахождения периметра перереза, достаточно найти длины отрезков LN, LS и NS.

Давайте рассмотрим отрезок LN. Поскольку точка L находится на ребре AB, а точка N находится на ребре BC, то отрезок LN будет прямой, соединяющей точки, находящиеся на разных ребрах тетраэдра.

Для нахождения длины отрезка LN, воспользуемся теоремой Пифагора. При этом сторона LN будет одной из катетов, а гипотенуза будет соединять точки A и C, которые являются вершинами тетраэдра SABC.

Так как все ребра SABC равны 10 см, то стороны треугольника ACB (гипотенуза) также равны 10 см. По теореме Пифагора:

\[LN = \sqrt{AB^2 + BC^2}\]
\[LN = \sqrt{(10\, \text{см})^2 + (10\, \text{см})^2}\]
\[LN = \sqrt{200}\,\text{см}\]

Теперь давайте рассмотрим отрезки LS и NS. Поскольку SL и SN являются биссектрисами, они делят соответствующие углы пирамидок SALN и SBNL на две равные части. То есть, углы, образованные SL и SN с ребром AB и BC соответственно, будут равными.

Так как ребра SABC равны 10 см, то ребра треугольников ASL и BSN также равны 10 см. Используя равенство сторон и равенство углов, можем заключить, что треугольники ASL и BSN равновелики.

Рассмотрим треугольник ASL и найдем сторону LS. Поскольку углы ASL и BSN равны, ребра AL и BN будут параллельны.

Используя параллельность сторон AL и BN, можем заключить, что треугольники ABL и LSN подобны. Из этого следует, что отношение сторон AS к LS будет равно отношению сторон AB к BL.

Отношение сторон AB к BL можно найти, используя теорему Пифагора для треугольника ABL:

\[\text{BL} = \sqrt{AB^2 - AL^2}\]
\[\text{BL} = \sqrt{(10\, \text{см})^2 - (5\, \text{см})^2}\]
\[\text{BL} = \sqrt{75}\,\text{см}\]

Теперь можем использовать найденное значение BL, чтобы найти сторону LS в треугольнике ASL. Обозначим эту сторону как \(x\). Тогда можем составить пропорцию:

\[\frac{AS}{LS} = \frac{AB}{BL}\]
\[\frac{10\, \text{см}}{x} = \frac{10\, \text{см}}{\sqrt{75}\,\text{см}}\]

Решая пропорцию, выразим \(x\), получим:

\[x = \frac{10\, \text{см} \cdot \sqrt{75}\,\text{см}}{10\,\text{см}} = \sqrt{75}\,\text{см}\]

Таким же образом можно найти сторону NS треугольника BSN, получив, что ее длина равна \(\sqrt{75}\,\text{см}\).

Таким образом, периметр перереза, проходящего через точки L, N и S, равен:

\[LN + LS + NS = \sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см}\]

Окончательный ответ будет зависеть от точности, с которой мы примем значения для корней из чисел 200 и 75. Если округлить значение до двух знаков после запятой, то периметр перереза составит:

\[LN + LS + NS \approx 22.36 + 15.49 + 15.49 \approx 53.34\,\text{см}\]

Итак, периметр перереза площадкой, проходящей через точки L, N и S в тетраэдре SABC, равен примерно 53.34 см.

Задача 2: В данной задаче нужно найти площадь перереза тетраэдра SABC площадкой, проходящей через точки L и N, при условии, что все ребра тетраэдра равны. Чтобы найти площадь этого перереза, нам понадобится площадь треугольника LSN. Для этого воспользуемся формулой Герона.

Длины сторон треугольника LSN мы уже нашли в предыдущей задаче:

\(LN = \sqrt{200}\,\text{см}\)
\(LS = \sqrt{75}\,\text{см}\)
\(NS = \sqrt{75}\,\text{см}\)

Периметр треугольника LSN можно найти как сумму длин его сторон:

\(\text{Периметр} = LN + LS + NS = \sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см}\)

Половина периметра треугольника LSN будет равна:

\(\frac{1}{2} \times \text{Периметр} = \frac{1}{2} (\sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см})\)

Теперь, используя формулу Герона, можем найти площадь треугольника LSN:

\(\text{Площадь} = \sqrt{\frac{1}{2} (\sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см}) \times (\frac{1}{2} (\sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см}) - \sqrt{200}\,\text{см})(\frac{1}{2} (\sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см}) - \sqrt{75}\,\text{см})(\frac{1}{2} (\sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см}) - \sqrt{75}\,\text{см})}\)

Подставляя значения длин сторон треугольника, получим:

\(\text{Площадь} = \sqrt{\frac{1}{2} (\sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см}) \times (\frac{1}{2} (\sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см}) - \sqrt{200}\,\text{см})(\frac{1}{2} (\sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см}) - \sqrt{75}\,\text{см})(\frac{1}{2} (\sqrt{200}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см} + \sqrt{75}\,\text{см}) - \sqrt{75}\,\text{см})}\)

Подсчитывая данное выражение, площадь перереза будет равна:

\(\text{Площадь} \approx 28.78\,\text{см}^2\)

Таким образом, площадь перереза тетраэдра SABC, проходящей через точки L и N, составляет примерно 28.78 квадратных сантиметров.