Каков радиус основания прямоугольного цилиндра, у которого длина диагонали равна 125 см, а высота в два раза превышает

Давайте решим эту задачу пошагово и подробно, чтобы вы могли легко понять процесс решения.

Шаг 1: Введем обозначения.
Пусть \( r \) - радиус основания прямоугольного цилиндра. Поскольку диаметр основания равен двум радиусам, то диаметр можно обозначить как \( 2r \). Высота цилиндра в два раза превышает диаметр основания, следовательно, высоту обозначим как \( h = 2 \cdot 2r = 4r \).

Шаг 2: Используем данную информацию.
По условию задачи, длина диагонали равна 125 см. Опустим из вершины диагонали на основание цилиндра перпендикуляр CD. Обозначим отрезок CD как \( x \) (см).

Шаг 3: Применим теорему Пифагора.
В прямоугольном треугольнике ACD, где AC - диагональ, AD - радиус основания, и CD - одна из сторон, можем записать теорему Пифагора:
\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]

Шаг 4: Выразим AC и AD через известные величины.
AC равна длине диагонали, которая равна 125 см (дано в условии).
AD равна радиусу основания, то есть \( AD = r \).

Шаг 5: Запишем уравнение, выразив CD.
\[ 125^2 = r^2 + CD^2 \]

Шаг 6: Выразим CD через переменные.
\[ CD = \sqrt{125^2 - r^2} \]

Шаг 7: Найдем высоту цилиндра.
Мы знаем, что \( h = 4r \).

Шаг 8: Запишем правильное уравнение, используя соотношение, связывающее диагональ и высоту.
\[ AC = \sqrt{CD^2 + h^2} \]

Шаг 9: Заменим переменные на значения.
Мы уже выразили CD через переменные, а h равняется 4r.

\[ 125 = \sqrt{( \sqrt{125^2 - r^2})^2 + (4r)^2} \]

Шаг 10: Решим это уравнение.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней.

\[ 125^2 = (\sqrt{125^2 - r^2})^2 + (4r)^2 \]

\[
125^2 = (125^2 - r^2) + 16r^2
\]

\[
125^2 = 125^2 - r^2 + 16r^2
\]

\[
r^2 = \frac{125^2}{17}
\]

\[
r = \sqrt{\frac{125^2}{17}}
\]

Шаг 11: Вычислим значение радиуса.
Подставим значение \( r \) в извлечение квадратного корня.

\[
r \approx \sqrt{\frac{125^2}{17}} \approx \sqrt{\frac{15625}{17}} \approx \sqrt{919.1176} \approx 30.316 \, \text{см}
\]

Таким образом, радиус основания прямоугольного цилиндра, у которого длина диагонали равна 125 см, а высота в два раза превышает диаметр основания, примерно равен 30,316 см.