На четырех различных чертежах постройте следующие треугольники: а) Постройте треугольник А1В1С1, который является

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать геометрические инструменты и знания о симметрии, биссектрисах, параллельном переносе и повороте фигур.

а) Чтобы построить треугольник \(А_1В_1С_1\), который является симметричным треугольнику \(АВС\) относительно точки \(D(1;-1)\), следуйте этим шагам:

1. Найдите середину отрезка \(AD\) и обозначьте его точкой \(M\). Это можно сделать, вычислив среднее арифметическое координат \(x\) и \(y\) для точек \(A\) и \(D\):
\[x_M = \frac{(x_A + x_D)}{2} = \frac{(1 + 1)}{2} = 1\]
\[y_M = \frac{(y_A + y_D)}{2} = \frac{(1 + (-1))}{2} = 0\]
То есть, \(M(1;0)\).

2. Постройте отрезок \(AM\) и продолжите его на ту же длину в противоположном направлении. Обозначьте новую точку как \(A_1\).

3. Повторите шаги 1-2 для отрезков \(BD\) и \(CD\), чтобы найти также точки \(B_1\) и \(C_1\).

4. Постройте треугольник \(A_1B_1C_1\), соединяя найденные точки.

б) Чтобы построить треугольник \(А_2В_2С_2\), который является симметричным треугольнику \(АВС\) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, выполните следующие действия:

1. Найдите середину отрезка \(AB\) и обозначьте его точкой \(O\). Это будет точка пересечения биссектрис первого и третьего координатных углов.
Чтобы найти координаты точки \(O\), найдем половину разности координат точек \(A\) и \(B\):
\[x_O = \frac{(x_A + x_B)}{2} = \frac{(0 + 2)}{2} = 1\]
\[y_O = \frac{(y_A + y_B)}{2} = \frac{(0 + 0)}{2} = 0\]
То есть, \(O(1;0)\).

2. Постройте биссектрисы первого и третьего координатных углов. Чтобы это сделать, нарисуйте две прямые, проходящие через точку \(O\) и перпендикулярные соответствующим сторонам треугольника \(ABC\). Обозначьте точки их пересечения с этими сторонами как \(A_2\) и \(C_2\).

3. Постройте отрезок \(B_2C_2\), который будет равен отрезку \(BA\).

4. Постройте отрезок \(A_2B_2\) и отрезок \(C_2A_2\), соединяя точки \(A_2B_2\) и \(C_2A_2\) с точками \(B_2\) и \(A_2\) соответственно.

в) Чтобы построить треугольник \(А_3В_3С_3\), который получается при параллельном переносе треугольника \(АВС\) на вектор \(-\frac{1}{2}ВС\), следуйте данным шагам:

1. Найдите вектор \(-\frac{1}{2}ВС\) без разъединения его на компоненты. Чтобы это сделать, умножьте каждую координату вектора \(ВС\) на \(-\frac{1}{2}\):
\[\vec{VС} = \begin{pmatrix} (x_C - x_B) \\ (y_C - y_B) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 - 0) \\ (-2 - 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}\]
\[\vec{AB} = \begin{pmatrix} (x_B - x_A) \\ (y_B - y_A) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 - 0) \\ (0 - (-2)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\]
\[-\frac{1}{2}\vec{VС} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

2. Постройте отрезок \(\vec{AB}\) равный вектору \(\vec{AB}\).

3. Постройте вектор \(\vec{AB"}\) параллельно вектору \(-\frac{1}{2}ВС\), начиная с точки \(B\). Для этого переместите конец вектора \(\vec{AB}\) так, чтобы его конечная точка совпала с конечной точкой вектора \(\vec{AB"}\).

4. Постройте отрезки \(A_3C_3\) и \(B_3C_3\), соединяя точки \(A\) и \(B\) с точками \(A_3\) и \(B_3\) соответственно.

г) Чтобы построить треугольник \(А_4В_4С_4\), который получается при повороте треугольника \(АВС\) на 90 градусов по часовой стрелке вокруг основания высоты \(BH\), совершите следующие действия:

1. Найдите координаты точки \(H\), которая является основанием высоты треугольника \(ABC\). Для этого найдите середины отрезков \(AH\) и \(CH\), используя среднее арифметическое:

\[x_H = \frac{(x_A + x_C)}{2} = \frac{(0 + 2)}{2} = 1\]
\[y_H = \frac{(y_A + y_C)}{2} = \frac{(0 + -2)}{2} = -1\]
То есть, \(H(1;-1)\).

2. Постройте прямую, проходящую через точки \(H\) и центр \(O\) треугольника \(ABC\).

3. Постройте отрезки \(B_4C_4\), \(A_4C_4\) и \(A_4B_4\), которые будут являться перпендикулярными отрезками, проведенными из начала и конца основания высоты \(BH\).

4. Постройте треугольник \(A_4B_4C_4\), соединяя найденные точки.

Таким образом, координаты треугольников будут следующие:

а) \(A_1(1;2)\), \(В_1(-1;0)\), \(С_1(1;-2)\)

б) \(A_2(1;-1)\), \(В_2(-1;1)\), \(С_2(1;1)\)

в) \(A_3(-1;2)\), \(В_3(1;0)\), \(С_3(-1;-2)\)

г) \(A_4(1;3)\), \(В_4(0;-2)\), \(С_4(2;-2)\)

Не стесняйтесь задавать вопросы, если вам не ясно что-то из объяснения! Я всегда готов помочь!