Можно выполнить следующие действия: упростить и преобразовать данное тригонометрическое выражение

Для начала рассмотрим данное тригонометрическое выражение: sin82°⋅cos22°−sin8°⋅cos68°.

Для упрощения этого выражения, воспользуемся тригонометрическими формулами и правилами, которые помогут нам преобразовать его в более простую форму.

Вначале, рассмотрим формулу синуса двойного угла:

sin(2θ) = 2sinθ⋅cosθ.

Для применения данной формулы, мы можем заметить, что 82° = 90° - 8°, а 22° = 90° - 68°. Подставив значения в формулу, получим:

sin82° = 2sin(90° - 8°)⋅cos(90° - 8°).

Аналогично, для второго слагаемого:

sin22° = 2sin(90° - 68°)⋅cos(90° - 68°).

Теперь, рассмотрим формулу косинуса суммы углов:

cos(α + β) = cosα⋅cosβ - sinα⋅sinβ.

Применяя эту формулу, можем заметить, что:

cos(90° - x) = sinx,

sin(90° - x) = cosx.

Подставляя значения в выражение, получаем:

2sin8°⋅cos8° - 2sin68°⋅cos68°.

Мы видим, что у нас есть общий множитель 2, который можно вынести за скобки:

2(sin8°⋅cos8° - sin68°⋅cos68°).

Теперь можем применить формулу разности синусов:

sin(α - β) = sinα⋅cosβ - cosα⋅sinβ.

Применив эту формулу, получим:

2(sin(8° - 68°)).

Мы видим, что в скобках у нас разность углов 8° и 68°.

Вспоминаем тригонометрические значения для синуса разности углов:

sin(α - β) = sinα⋅cosβ - cosα⋅sinβ,

sin(-β) = -sinβ.

Таким образом, у нас получается:

2(-sin60°).

Так как синус 60° равен √3/2, мы можем вычислить окончательный результат:

2(-√3/2) = -√3.

Таким образом, значение заданного тригонометрического выражения sin82°⋅cos22°−sin8°⋅cos68° равно -√3.