Можно ли сказать, что свойства степени с положительным показателем подобны свойствам степени с отрицательными целыми

Да, свойства степени с положительными и отрицательными целыми показателями действительно подобны, но есть несколько отличий, о которых стоит знать.

Сначала рассмотрим свойства степени с положительным показателем. Представим, что у нас есть число \(a\) и положительное целое число \(n\), и мы хотим возвести число \(a\) в степень \(n\):
\[a^n = a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a\]
Здесь число \(a\) умножается на само себя \(n\) раз подряд.

Теперь давайте рассмотрим свойства степени с отрицательным целым показателем. Предположим, что у нас есть число \(a\) и отрицательное целое число \(m\), и мы хотим возвести число \(a\) в степень \(m\):
\[a^m = \frac{1}{a^{-m}}\]
Здесь мы используем свойство обратного числа, согласно которому \(a^{-m}\) представляет собой обратную величину к \(a^m\).

Теперь давайте сравним свойства степени с положительными и отрицательными показателями.

1. Умножение степеней с одинаковым основанием:
Если у нас есть числа \(a\) и \(b\) и положительные целые числа \(n\) и \(m\), то выполняется следующее:
\[a^n \cdot a^m = a^{n+m}\]
Однако, если у нас есть числа \(a\) и \(b\) и отрицательные целые числа \(m\) и \(n\), то мы можем применить свойство обратного числа и получить:
\[\frac{1}{a^m} \cdot \frac{1}{a^n} = \frac{1}{a^m \cdot a^n} = \frac{1}{a^{m+n}}\]
Таким образом, свойство сохраняется для степеней с отрицательными показателями.

2. Возведение в степень степени:
Если у нас есть число \(a\) и положительные целые числа \(m\) и \(n\), то выполняется следующее:
\[(a^m)^n = a^{m \cdot n}\]
Аналогично, если у нас есть число \(a\) и отрицательное целое число \(m\), то мы можем применить свойство обратного числа и получить:
\[(\frac{1}{a^m})^n = \frac{1^n}{(a^m)^n} = \frac{1}{a^{m \cdot n}}\]
Поэтому свойство степени применимо и для отрицательных показателей.

3. Возведение в степень числа 1:
Любое число, включая 1, возведенное в любую степень, равно самому себе:
\[1^n = 1\]
То же самое верно и для степени с отрицательным показателем:
\[1^m = \frac{1}{1^{-m}} = \frac{1}{1} = 1\]

Таким образом, хотя есть некоторые моменты, в которых существуют различия между свойствами степени с положительными и отрицательными целыми показателями, в целом эти свойства подобны и выполняются как для положительных, так и для отрицательных показателей.