Можете ли вы показать, что выражение 6^(2n)+3^(n+2)+3^n является кратным?

Конечно! Давайте рассмотрим выражение \(6^{2n}+3^{n+2}+3^n\) и проверим, является ли оно кратным.

Для начала, давайте выделим общий множитель из каждого слагаемого:

\(6^{2n} = (6^2)^n = 36^n\)

\(3^{n+2} = 3^2 \cdot 3^n = 9 \cdot 3^n\)

\noindent Теперь мы можем переписать наше исходное выражение следующим образом:

\(6^{2n}+3^{n+2}+3^n = 36^n + 9 \cdot 3^n + 3^n\)

Сгруппируем одинаковые слагаемые:

\(36^n + 9 \cdot 3^n + 3^n = 36^n + (9+1) \cdot 3^n = 36^n + 10 \cdot 3^n\)

Теперь, чтобы доказать, что это выражение является кратным, давайте рассмотрим частное между этим выражением и числом 3:

\(\frac{36^n + 10 \cdot 3^n}{3}\)

Распределим деление на каждое слагаемое:

\(\frac{36^n}{3} + \frac{10 \cdot 3^n}{3}\)

Теперь упростим каждую дробь:

\(\frac{36^n}{3} = 12^n\)

\(\frac{10 \cdot 3^n}{3} = 10 \cdot \frac{3^n}{3} = 10 \cdot 3^{n-1}\)

Теперь, когда мы получили выражение в виде суммы двух слагаемых, мы можем записать исходное выражение как:

\(12^n + 10 \cdot 3^{n-1}\)

Обратите внимание, что оба слагаемых содержат 3 в определенной степени, но не содержат 3 в одинаковых степенях. Следовательно, поскольку исходное выражение не может быть выражено в виде \(3 \cdot k\), где \(k\) является целым числом, нет оснований полагать, что оно является кратным.

Таким образом, исходное выражение \(6^{2n}+3^{n+2}+3^n\) не является кратным числу 3.