Может ли сумма чисел, каждое из которых в десятичной записи содержит только одну цифру n и не содержит других цифр

Конечно! Давайте решим эту задачу пошагово.

Представим, что число \(n\) состоит из \(k\) цифр. Тогда сумма \(k\) таких чисел равна \(S = n + nn + nnn + ... + \underbrace{nn...n}_{\text{k раз}}\).

Мы можем представить \(S\) следующим образом:
\[S = n + nn + nnn + ... + \underbrace{nn...n}_{\text{k раз}} = n \left(\frac{10^k-1}{9}\right)\]

Давайте рассмотрим число 8900098. Нам нужно найти такое значение \(k\), чтобы \(S = n \left(\frac{10^k-1}{9}\right)\) было равно 8900098.

Найдем \(k\), используя алгоритм:

1. Начнем с \(k = 1\) и проверим, удовлетворяет ли число условиям.
Подставим значение \(k\) в уравнение \(S = n \left(\frac{10^k-1}{9}\right)\):
\[S = n \left(\frac{10^1-1}{9}\right) = n \left(\frac{10-1}{9}\right) = n\]

Мы заметим, что для любого числа \(n\), где \(0 \leq n \leq 9\), сумма одного такого числа будет равна самому числу. Таким образом, при \(k = 1\), сумма равняется числу \(n\).

2. У нас есть число 8900098. Попробуем \(k = 2\) и проверим, равняется ли сумма 8900098.
Подставим значение \(k = 2\) в уравнение \(S = n \left(\frac{10^k-1}{9}\right)\):
\[S = n \left(\frac{10^2-1}{9}\right) = n \left(\frac{99}{9}\right) = 11n\]

Мы видим, что сумма будет равна \(11n\), где \(0 \leq n \leq 9\). Однако, для числа 8900098, мы не можем получить сумму, равную 8900098, при \(k = 2\).

3. Попробуем \(k = 3\) и проверим выражение \(S = n \left(\frac{10^k-1}{9}\right)\).
Подставим значение \(k = 3\) в уравнение:
\[S = n \left(\frac{10^3-1}{9}\right) = n \left(\frac{999}{9}\right) = 111n\]

Мы замечаем, что сумма равна \(111n\), где \(0 \leq n \leq 9\). Но мы все еще не можем получить сумму, равную 8900098, при \(k = 3\).

Продолжим этот процесс для других значений \(k\). В конечном итоге, мы замечаем, что число 8900098 не может быть представлено в виде суммы чисел, каждое из которых в десятичной записи содержит только одну цифру \(n\) и не содержит других цифр. Таким образом, ответ на задачу: нет, сумма таких чисел не может равняться 8900098.