Микола готується до виїзду на пікнік, але Петро помітив, що він залишив м яч і вирішив кинути його в машину

Для розв"язання цієї задачі, спочатку нам потрібно встановити, за яких умов м"яч попаде у багажник машини.

Ми знаємо, що м"яч рухається під кутом 45 градусів відносно горизонту. Це означає, що його горизонтальна складова швидкості буде рівною вертикальній складовій швидкості.

Адже м"яч падає на вузький багажник машини, можна припустити, що багажник рухається прямолінійно з постійною швидкістю у горизонтальному напрямку. Таким чином, горизонтальна складова швидкості м"яча залишається постійною протягом всього польоту.

Запишемо формули для горизонтальної і вертикальної складових швидкостей відносно часу:

\[V_x = V_0 \cdot \cos(\alpha)\]
\[V_y = V_0 \cdot \sin(\alpha) - g \cdot t\]

де:
\(V_x\) - горизонтальна швидкість,
\(V_0\) - початкова швидкість м"яча,
\(\alpha\) - кут між горизонтом і напрямом руху м"яча,
\(V_y\) - вертикальна швидкість,
\(g\) - прискорення вільного падіння,
\(t\) - час польоту м"яча.

Тепер, спираючись на інформацію про початкову відстань \(х\) і довжину багажника, ми можемо знайти час польоту м"яча. Він дорівнює відношенню відстані, яку проходить м"яч по горизонталі, до горизонтальної швидкості:

\[t = \frac{{х}}{{V_x}}\]

Знайдемо час, коли м"яч потрапляє в багажник, записавши рівняння для вертикальної координати м"яча. У момент попадання ця координата дорівнюватиме висоті багажника \(h\):

\[h = V_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \frac{{g \cdot t^2}}{2}\]

Підставивши значення, отримані раніше для \(t\), знайдемо \(V_0\) з цього рівняння:

\[V_0 = \frac{{h + \frac{{g \cdot х^2}}{{2 \cdot V_x^2}}}}{{\sin(\alpha) - \frac{{g \cdot х}}{{V_x^2}}}}\]

Минимальна і максимальна швидкості, за яких Петро може закинути м"яч в багажник, відповідають відповідним значенням початкової швидкості.

Отже, різниця між максимальною та мінімальною швидкостями дорівнюватиме:

\[\Delta V = V_{max} - V_{min} = \frac{{h + \frac{{g \cdot х^2}}{{2 \cdot V_{x_{max}}^2}}}}{{\sin(\alpha) - \frac{{g \cdot х}}{{V_{x_{max}}^2}}}} - \frac{{h + \frac{{g \cdot х^2}}{{2 \cdot V_{x_{min}}^2}}}}{{\sin(\alpha) - \frac{{g \cdot х}}{{V_{x_{min}}^2}}}}\]

Знайдемо вираз для різниці швидкостей, підставивши значення знайдені раніше:

\[\Delta V = \frac{{h + \frac{{g \cdot х^2}}{{2 \cdot (\frac{{h \cdot \cos(\alpha)}}{{х}})^2}}}}{{\sin(\alpha) - \frac{{g \cdot х}}{{\frac{{h \cdot \cos(\alpha)}}{{х}})^2}}}} - \frac{{h + \frac{{g \cdot х^2}}{{2 \cdot (\frac{{h \cdot \cos(\alpha)}}{{х}})^2}}}}{{\sin(\alpha) - \frac{{g \cdot х}}{{\frac{{h \cdot \cos(\alpha)}}{{х}})^2}}}}\]

Після спрощення цього виразу ми отримаємо остаточний вираз для різниці швидкостей:

\[\Delta V = \frac{{h \cdot g}}{{\cos(\alpha) \cdot х}}\]