Квадратичная функция у = х2 + 2x – 3 дана. Строим график функции и находим: а) положение оси симметрии и интервалы

Хорошо, давайте рассмотрим каждый пункт задачи по порядку.

а) Чтобы найти положение оси симметрии квадратичной функции, мы знаем, что она содержит член \(x^2\). Ось симметрии проходит через вершину параболы и является вертикальной линией. Формула для нахождения оси симметрии выглядит следующим образом: \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратичной функции.

В нашем случае, мы имеем функцию \(y = x^2 + 2x - 3\). Сопоставляя ее с формулой, мы видим, что \(a = 1\) и \(b = 2\). Подставляя значения, получаем \(x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\). Значит, ось симметрии проходит через точку \((-1, y)\), где значение \(y\) может быть любым.

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы должны рассмотреть знак производной функции. Если производная функции положительна, то функция возрастает; если отрицательна, то функция убывает. В нашем случае, производная функции можно найти, продифференцировав ее. Получаем \(y" = 2x + 2\).

Теперь решим неравенство \(2x + 2 > 0\) чтобы найти интервалы возрастания функции:
\[2x + 2 > 0\]
\[2x > -2\]
\[x > -1\]

Итак, функция возрастает на интервале \((-1, +\infty)\).

b) Чтобы найти координату точки пересечения графика функции с осью Оу, мы должны найти значение функции, когда \(x = 0\). Подставляя \(x = 0\) в функцию \(y = x^2 + 2x - 3\) получаем \(y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3\). Значит, точка пересечения графика функции с осью Оу имеет координаты \((0, -3)\).

в) Чтобы найти корни функции, нам нужно решить квадратное уравнение \(x^2 + 2x - 3 = 0\). Мы можем использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта для решения этого.

Рассмотрим формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -3\). Подставляя значения, получаем \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16\).

Теперь мы можем использовать корни дискриминанта для нахождения корней функции:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{-2 \pm 4}{2}\]
\[x_1 = 1\]
\[x_2 = -3\]

Итак, корни функции равны \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -3\).

г) Чтобы найти интервалы знакопостоянства функции, мы должны разбить ось \(x\) в соответствии с корнями функции и выбрать точку из каждого интервала. Подставляя эти точки обратно в функцию, мы узнаем знак функции на каждом интервале.

Разбивая ось \(x\) на интервалы \((-\infty, -3)\), \((-3, 1)\) и \((1, +\infty)\), мы выберем точки проверки: -4, 0 и 2.

Подставляя их в функцию, получаем:
\[x = -4: y = (-4)^2 + 2 \cdot (-4) - 3 = 29\]
\[x = 0: y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3\]
\[x = 2: y = 2^2 + 2 \cdot 2 - 3 = 5\]

Итак, интервалы знакопостоянства функции следующие:
На интервале \((-\infty, -3)\) функция положительна, на интервале \((-3, 1)\) функция отрицательна, и на интервале \((1, +\infty)\) функция снова положительна.

Надеюсь, эта подробная разборка задачи помогла вам разобраться с квадратичной функцией.