Которое из следующих чисел является рациональным: корень из 40; корень из 0.4; корень из 0.04; корень из 4000?

Чтобы определить, являются ли данные числа рациональными, нужно сначала разобраться в определении рационального числа. Рациональные числа - это числа, которые можно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Итак, посмотрим на каждое из данных чисел:

1) Корень из 40: Здесь нужно узнать, можно ли представить \(\sqrt{40}\) в виде дроби. Нам известно, что \(40 = 4 \cdot 10\). Возвращаясь к корню, мы можем расписать его как \(\sqrt{4 \cdot 10}\), что равносильно \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{10}\). Так как \(\sqrt{4} = 2\), получаем \(2 \cdot \sqrt{10}\). Это числовая форма и не может быть записана как дробь, поэтому \(\sqrt{40}\) не является рациональным числом.

2) Корень из 0.4: Аналогично, мы должны проверить, может ли \(\sqrt{0.4}\) быть выражено в виде дроби. Здесь мы можем умножить и разделить числитель и знаменатель на 10, чтобы получить \(0.4 = \frac{4}{10}\). Тогда \(\sqrt{0.4} = \sqrt{\frac{4}{10}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}\). Ответы с корнем в знаменателе не являются рациональными, следовательно, \(\sqrt{0.4}\) также не является рациональным числом.

3) Корень из 0.04: Аналогично, попробуем выразить \(\sqrt{0.04}\) в виде дроби. Здесь мы можем умножить и разделить числитель и знаменатель на 100, чтобы получить \(0.04 = \frac{4}{100}\). Тогда \(\sqrt{0.04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10}\). Это число можно записать в виде дроби, поэтому \(\sqrt{0.04}\) является рациональным числом.

4) Корень из 4000: Наконец, посмотрим на \(\sqrt{4000}\). Мы можем записать \(4000 = 4 \cdot 1000\). Раскладывая корень, получаем \(\sqrt{4 \cdot 1000} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{1000}\), что равносильно \(2 \cdot \sqrt{1000}\). Но \(\sqrt{1000}\) также не является рациональным числом, поэтому \(\sqrt{4000}\) не является рациональным числом.

Таким образом, из предложенных чисел только \(\sqrt{0.04}\) является рациональным.