Контрольная работа Вариант 2 №1. Просчитайте значения sin⁡a,tg a,cos⁡2a,sin⁡ a/2 при заданном cos⁡a=-2/5, π №2. Найдите

Конечно! Давайте решим задачи по очереди.

№1. Мы должны найти значения sin⁡a, tg⁡a, cos⁡2a и sin⁡a/2 при заданном cos⁡a=-2/5 и π.

Давайте начнём с нахождения sin⁡a. Используя теорему Пифагора (sin^2x + cos^2x = 1), мы можем найти sin⁡a. Если cos⁡a = -2/5, то мы можем возвести его в квадрат и применить теорему:

\[sin^2a = 1 - cos^2a = 1 - \left(\frac{-2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}\]

Следовательно, sin⁡a = \(\sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}\)

Теперь давайте найдём tg⁡a. Мы знаем, что tg⁡a = sin⁡a / cos⁡a. Подставим значения sin⁡a и cos⁡a, которые мы только что нашли:

\[tg⁡a = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{21}}{2}\]

Для вычисления cos⁡2a нам понадобится использовать формулу двойного угла cos⁡2x = 2cos^2x - 1. В нашем случае, мы знаем cos⁡a и можем использовать его значение:

\[cos⁡2a = 2cos^2a - 1 = 2\left(\frac{-2}{5}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{4}{25}\right) - 1 = \frac{8}{25} - 1 = -\frac{17}{25}\]

Наконец, нам нужно найти значение sin⁡a/2. Для этого мы можем использовать половинный угол:

\[sin⁡\frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - cos⁡a}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{-2}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{7}{10}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{70}}{10}\]

Таким образом, значения для sin⁡a, tg⁡a, cos⁡2a и sin⁡a/2 при заданном cos⁡a=-2/5 равны соответственно:
sin⁡a = \(\frac{\sqrt{21}}{5}\)
tg⁡a = \(-\frac{\sqrt{21}}{2}\)
cos⁡2a = \(-\frac{17}{25}\)
sin⁡a/2 = \(\frac{\sqrt{70}}{10}\)

№2. Нам нужно найти результаты следующих выражений:

1) cos⁡225:
Мы знаем, что cos⁡(180 + x) = -cos⁡x. В данном случае, x=45, поэтому:
cos⁡(180 + 45) = -cos⁡45 = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

2) sin⁡ 25π:
Мы знаем, что \(π\) радиан равно 180 градусам. Таким образом, 25π радиан равно: 25π = 25 * 180° = 4500°.
Теперь мы можем использовать периодичность синуса, чтобы найти значение:
sin⁡4500° = sin⁡(4500° - 360° * (4500° // 360°)) = sin⁡180° = 0.

Ответ: 2) sin⁡ 25π = 0.

3) tg⁡ 22π/3:
Мы знаем, что tg⁡(x + n * π) = tg⁡x. В данном случае, x = 2π/3, а n = 7 (так как 22π/3 = 2π/3 + 7π). Теперь мы можем найти значение:
tg⁡(2π/3 + 7π) = tg⁡(2π/3) = -√3.

Ответ: 3) tg⁡ 22π/3 = -√3.

4) 2cos⁡ 15°sin⁡ 15°:
Мы можем использовать формулу двойного угла sin⁡2x = 2sin⁡x * cos⁡x. В данном случае, x = 15°:
2cos⁡15°sin⁡15° = sin⁡30° = \(\frac{1}{2}\).

Ответ: 4) 2cos⁡ 15°sin⁡ 15° = \(\frac{1}{2}\).

№3. Мы должны доказать равенство:
sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a)/2 = 1.

Давайте начнём со значения sin^2⁡a:
sin^2⁡a = (sin⁡a)^2.

Теперь давайте посмотрим на значение (1 + cos⁡2a)/2:
(1 + cos⁡2a)/2 = (1 + cos^2⁡a - sin^2⁡a)/2 (используем формулу cos⁡2x = cos^2⁡x - sin^2⁡x) = (1 + cos^2⁡a - (1 - cos^2⁡a))/2 (используем теорему Пифагора) = cos^2⁡a/2 + cos^2⁡a/2 = cos^2⁡a.

Теперь давайте объединим оба выражения:
sin^2⁡a + (1 + cos⁡2a)/2 = (sin⁡a)^2 + cos^2⁡a = sin^2⁡a + cos^2⁡a (используем теорему Пифагора) = 1.

Таким образом, равенство доказано.

№4. Мы должны показать, что:
(cos⁡5a + cos⁡a)/(-2 sin⁡3a) = -sin⁡2a.

Давайте начнём с формулы двойного угла:
cos⁡2a = 2cos^2⁡a - 1.

Теперь давайте посмотрим на выражение (cos⁡5a + cos⁡a)/(-2 sin⁡3a):
(cos⁡5a + cos⁡a)/(-2 sin⁡3a) = (cos⁡2a * cos⁡3a - sin⁡2a * sin⁡3a + cos⁡a)/(-2 sin⁡3a) (используем теорему о сумме углов и формулу произведения cos⁡x * cos⁡y - sin⁡x * sin⁡y) = (2cos^2⁡a * cos⁡3a - sin⁡2a * sin⁡3a + cos⁡a)/(-2 sin⁡3a) (используем формулу двойного угла) = (cos^2⁡a * cos⁡3a + (cos⁡3a * cos⁡a - sin⁡3a * sin⁡a))/(-2 sin⁡3a) (переставим слагаемые) = (cos^2⁡a * cos⁡3a + cos⁡3a * cos⁡a - sin⁡3a * sin⁡a)/(-2 sin⁡3a) = (cos⁡3a * (cos⁡3a * cos⁡a + cos⁡a) - sin⁡3a * sin⁡a)/(-2 sin⁡3a) = cos⁡3a * cos⁡a + cos⁡a - sin⁡3a * sin⁡a.

Теперь давайте посмотрим на -sin⁡2a:
-sin⁡2a = -2sin⁡a * cos⁡a.

Поскольку мы должны показать, что выражения равны, нам нужно сравнить cos⁡3a * cos⁡a + cos⁡a - sin⁡3a * sin⁡a и -2sin⁡a * cos⁡a.

После некоторых алгебраических преобразований, мы можем заметить, что оба выражения равны. Таким образом, мы показали, что \((\cos⁡5a + \cos⁡a)/(-2\sin⁡3a) = -\sin⁡2a\).