Контрольная работа № 7 «Квадратичная функция» Вариант I 1. Какие точки принадлежат графику функции у=х2, если А (3;-9

Задача 1.

Для того чтобы найти точки принадлежности графику функции \(y = x^2\), необходимо подставить значения \(x\) из данных пар координат и проверить, совпадает ли полученное значение \(y\) с указанным в паре координат.

- Для точки А (3;-9):

Подставляем \(x = 3\) в функцию \(y = x^2\):

\[y = (3)^2 = 9\]

Получили \(y = 9\), но в паре координат указано \(y = -9\), поэтому данная точка не принадлежит графику функции \(y = x^2\).

- Для точки B (1;1):

Подставляем \(x = 1\) в функцию \(y = x^2\):

\[y = (1)^2 = 1\]

Получили \(y = 1\), что совпадает с указанным значением в паре координат. Значит, точка B (1;1) принадлежит графику функции \(y = x^2\).

Точно так же мы можем проверить остальные точки:

- Для точки C (-1;-1):

Подставляем \(x = -1\) в функцию \(y = x^2\):

\[y = (-1)^2 = 1\]

Получили \(y = 1\), но в паре координат указано \(y = -1\), поэтому данная точка не принадлежит графику функции \(y = x^2\).

- Для точки D(-3;9):

Подставляем \(x = -3\) в функцию \(y = x^2\):

\[y = (-3)^2 = 9\]

Получили \(y = 9\), что совпадает с указанным значением в паре координат. Значит, точка D (-3;9) принадлежит графику функции \(y = x^2\).

Таким образом, точки, принадлежащие графику функции \(y = x^2\), это точка B (1;1) и точка D (-3;9).

Задача 2.

1) Для функции \(y = x^2 - 4x + 5\):

Для нахождения координат вершины параболы, можно воспользоваться формулой:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}\]

\[y_{\text{вершины}} = f(x_{\text{вершины}})\]

Где \(a, b, c\) - коэффициенты в уравнении параболы \(ax^2 + bx + c\).

Для нашей функции \(y = x^2 - 4x + 5\), коэффициенты равны:

\(a = 1, b = -4, c = 5\)

Теперь можем подставить значения в формулу:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\]

\[y_{\text{вершины}} = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 1\]

Таким образом, координаты вершины параболы \(y = x^2 - 4x + 5\) равны (2;1).

2) Для функции \(y = 2x^2 - 7x + 9\):

Проведем аналогичные расчеты:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1.75\]

\[y_{\text{вершины}} = (1.75)^2 - 7 \cdot 1.75 + 9 = 0.4375\]

Таким образом, координаты вершины параболы \(y = 2x^2 - 7x + 9\) равны (1.75;0.4375).

Задача 3.

Чтобы найти координаты точек пересечения функций с осями координат, необходимо приравнять соответствующую функцию к нулю и решить полученные уравнения.

1) Для функции \(y = x^2 - 5x + 1\):

Когда функция \(y\) пересекает ось \(x\), \(y = 0\), поэтому:

\[x^2 - 5x + 1 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Для нашего уравнения, коэффициенты равны:

\(a = 1, b = -5, c = 1\)

Вычислим дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21\]

Так как \(D > 0\), то у нас будет два различных корня:

\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}\]

Таким образом, координаты точек пересечения функции \(y = x^2 - 5x + 1\) с осями координат равны \(\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}, 0\right)\) и \(\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}, 0\right)\).

2) Для функции \(y = -2x^2 + 3x + 2\):

Аналогично, приравняем \(y\) к нулю:

\[-2x^2 + 3x + 2 = 0\]

Снова найдем дискриминант:

\[D = (3)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 = 9 + 16 = 25\]

Так как \(D > 0\), у нас будет два корня:

\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{-4} = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{1}{2}\]

\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{-4} = \frac{-3 - 5}{-4} = 2\]

Таким образом, координаты точек пересечения функции \(y = -2x^2 + 3x + 2\) с осями координат равны \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) и \((2, 0)\).

Задача 4.

Для того чтобы определить, можно ли построить графики функций \(y = x^2 - 6x + 5\) и \(y = -0.5x^2 + 2x + 1\), необходимо проанализировать их дискриминанты.

1) Для функции \(y = x^2 - 6x + 5\):

Вычислим дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\]

Так как \(D > 0\), то график функции \(y = x^2 - 6x + 5\) имеет два корня и представляет собой параболу, которая открывается вверх.

2) Для функции \(y = -0.5x^2 + 2x + 1\):

Вычислим дискриминант:

\[D = (2)^2 - 4 \cdot (-0.5) \cdot 1 = 4 + 2 = 6\]

Так как \(D > 0\), то график функции \(y = -0.5x^2 + 2x + 1\) также имеет два корня и представляет собой параболу, которая открывается вниз.

Таким образом, графики функций \(y = x^2 - 6x + 5\) и \(y = -0.5x^2 + 2x + 1\) можно построить.