Когда расстояние между точками А и В было четвертью длины окружности, точка А начала двигаться вслед за точкой

Для начала решим задачу о времени, через которое расстояние между точками увеличится до трети длины окружности. Пусть длина окружности равна \(L\), а расстояние между точками А и В в начальный момент времени равно \(\frac{L}{4}\). Для удобства рассмотрим ситуацию в системе отсчета, связанной с окружностью и наблюдающей за ней.

Поскольку точка А начинает двигаться вслед за точкой В, можно сказать, что точка А всегда находится на одной четверти окружности (по отношению к точке В). Расстояние между ними будет увеличиваться таким образом: сначала оно будет увеличиваться от \(\frac{L}{4}\) до \(\frac{L}{2}\) (половина окружности), затем от \(\frac{L}{2}\) до \(\frac{3L}{4}\) (три четверти окружности), и наконец, от \(\frac{3L}{4}\) до \(L\) (полная окружность).

Таким образом, чтобы найти время, через которое расстояние между точками увеличится до трети длины окружности (\(\frac{L}{3}\)), надо найти, сколько времени уйдет на каждую из трех фаз увеличения расстояния.

На первом отрезке (\(\frac{L}{4}\) до \(\frac{L}{2}\)) расстояние между точками увеличивается на половину длины окружности, то есть \(\frac{L}{4}\). Здесь используем формулу для скорости:

\[v = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \Rightarrow \Delta s = v \cdot \Delta t\]

где \(\Delta s\) - изменение расстояния, \(v\) - скорость, \(\Delta t\) - время. Так как скорость прямо пропорциональна изменению расстояния, можем сделать следующую пропорцию:

\(\frac{\Delta s}{v} = \Delta t\)

Таким образом, \(\Delta t\) будет равно:

\(\Delta t = \frac{\frac{L}{4}}{v}\)

На втором отрезке (\(\frac{L}{2}\) до \(\frac{3L}{4}\)) расстояние между точками увеличивается на \(\frac{L}{4}\). Здесь также используем формулу для скорости, получая точно такое же время:

\(\Delta t = \frac{\frac{L}{4}}{v}\)

И, наконец, на третьем отрезке (\(\frac{3L}{4}\) до \(L\)) расстояние между точками увеличивается на \(\frac{L}{4}\). И здесь мы используем уже знакомую формулу:

\(\Delta t = \frac{\frac{L}{4}}{v}\)

Теперь найдем общее время, складывая времена с трех отрезков:

\(T = 3 \cdot \frac{\frac{L}{4}}{v}\)

Теперь перейдем ко второй части задачи - к углу между ускорениями точек. Очевидно, что в начальный момент времени угол между направлениями их ускорений равен нулю, поскольку точка А движется вслед за точкой В. Однако, по мере увеличения расстояния между точками, угол будет изменяться.

Мы знаем, что ускорение направлено вдоль касательной к окружности в данной точке. При этом ускорение пропорционально скорости, и, следовательно, пропорционально изменению расстояния (а конкретно, расстояния между точками).

Таким образом, можно сказать, что угол между ускорениями точек будет меняться пропорционально с увеличением расстояния между ними. При изменении этого расстояния от \(\frac{L}{4}\) до \(\frac{L}{2}\) угол между ускорениями будет равен 90 градусам (так как это половина от четверти окружности).

Далее, при изменении расстояния от \(\frac{L}{2}\) до \(\frac{3L}{4}\) угол между ускорениями будет изменяться от 90 градусов до 180 градусов (так как это еще одна половина четверти окружности).

И, наконец, при изменении расстояния от \(\frac{3L}{4}\) до \(L\) угол между ускорениями будет изменяться от 180 градусов до 270 градусов.

Таким образом, разница между углами ускорений точек на отрезках увеличения расстояния будет составлять 90 градусов.

Итак, для задачи о времени и угле между ускорениями имеем:

Время, через которое расстояние между точками увеличится до трети длины окружности: \(T = 3 \cdot \frac{\frac{L}{4}}{v}\)

Угол между ускорениями точек в этот момент: 90 градусов.