Когда может быть лишен смысла алгебраическая дробь 45a+4a(a−3)(a+7)?

Алгебраическая дробь \(45a+4a(a-3)(a+7)\) может быть лишена смысла в следующих случаях:

1. Знаменатель равен нулю: Если выражение в знаменателе равно нулю, то алгебраическая дробь становится неопределенной. Давайте рассмотрим выражение \((a-3)(a+7)\) в качестве знаменателя и найдем его корни, то есть значения \(a\), при которых выражение равно нулю:

\[(a-3)(a+7) = 0\]

2. Числитель также равен нулю: В некоторых случаях числитель алгебраической дроби может быть нулем. Для нашей дроби это означает, что \(45a+4a(a-3)(a+7) = 0\).

Давайте рассмотрим эти два случая подробнее:

1. Знаменатель равен нулю: Решим уравнение \((a-3)(a+7) = 0\). Для этого необходимо приравнять каждый множитель к нулю и решить получившиеся уравнения:

\(a-3 = 0\) или \(a+7 = 0\)

Решим каждое уравнение:

Для \(a-3 = 0\) получаем \(a = 3\)

Для \(a+7 = 0\) получаем \(a = -7\)

Таким образом, у нас есть два значения \(a\), при которых знаменатель равен нулю: \(a = 3\) и \(a = -7\). В этих случаях алгебраическая дробь \(45a+4a(a-3)(a+7)\) будет лишена смысла.

2. Числитель равен нулю: Решим уравнение \(45a+4a(a-3)(a+7) = 0\). Для этого нам нужно приравнять числитель к нулю:

\(45a+4a(a-3)(a+7) = 0\)

Это уравнение более сложное и его решение может потребовать дополнительных шагов. Однако, мы видим, что это квадратное уравнение, так как степень \(a\) самая высокая во всем выражении. Используем эту информацию для дальнейшего решения.

Мы можем решить квадратное уравнение, применив метод факторизации или формулу квадратного корня. Но чтобы упростить задачу, давайте продолжим и найдем корни этого уравнения. Для этого используем факт, что умножение квадратных скобок даёт нам квадратичное уравнение по формуле \(au^2 + bu + c = 0\), где \(u\) - это \(a\):

\(4a(a-3)(a+7) + 45a = 0\)

Раскроем скобки:

\(4a(a^2+7a-3a-21) + 45a = 0\)

Упростим полученное выражение:

\(4a(a^2+4a-21) + 45a = 0\)

\(4a^3+16a^2-84a + 45a = 0\)

Комбинируем подобные члены:

\(4a^3+16a^2-39a = 0\)

Теперь мы получили кубическое уравнение. Решение кубических уравнений может быть сложным, и в общем случае требует применения специальных методов, таких как методы Кардано или Ньютона. Получившееся кубическое уравнение не имеет простых целочисленных корней, и его полное решение является достаточно сложной задачей.

Таким образом, зная, что для некоторых значений \(a\) знаменатель равен нулю, а числитель равен нулю для любого значения \(a\), мы можем заключить, что алгебраическая дробь \(45a+4a(a-3)(a+7)\) может быть лишена смысла в различных ситуациях. Эти ситуации требуют отдельного рассмотрения в зависимости от конкретных условий задачи или контекста, в котором она поставлена.