1. Каков результат вычисления выражения cos2x−3,3, если известно, что cosx=813 и x∈(3π2;2π)? 2. Чему равно значение

1. Для решения этой задачи нам необходимо знать значение \(\cos(x)\), а затем подставить его в выражение \(\cos(2x) - 3.3\).

Из условия задачи нам дано, что \(\cos(x) = \frac{8}{13}\) и \(x\) принадлежит интервалу \((\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\).

Найдем значение \(\cos(2x)\) с использованием тригонометрической формулы двойного угла \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\).

Подставим значение \(\cos(x)\):
\[\cos(2x) = 2\left(\frac{8}{13}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{64}{169}\right) - 1 = \frac{128}{169} - \frac{169}{169} = \frac{128 - 169}{169} = -\frac{41}{169}\]

Теперь подставим это значение в исходное выражение:
\(\cos(2x) - 3.3 = -\frac{41}{169} - 3.3 = \frac{-41 - (3.3 \cdot 169)}{169} = \frac{-41 - 557.7}{169} = \frac{-598.7}{169} \approx -3.54\)

Ответ: Результат вычисления выражения \(\cos(2x) - 3.3\) при условии \(\cos(x) = \frac{8}{13}\) и \(x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\) примерно равен \(-3.54\).

2. Для решения этой задачи нам необходимо знать значение \(\cos(x)\), а затем подставить его в выражение \(\sin^2(x) + \cos^2(x) + 1.6\).

Из условия задачи нам дано, что \(\cos(x) = \frac{9}{13}\) и \(x\) принадлежит интервалу \((\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\).

Найдем значения \(\sin(x)\) и \(\sin^2(x)\) с использованием тригонометрической формулы \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\).

Подставим значение \(\cos(x)\):
\[\sin^2(x) = 1 - \left(\frac{9}{13}\right)^2 = 1 - \frac{81}{169} = \frac{169 - 81}{169} = \frac{88}{169}\]

Теперь подставим значения \(\sin^2(x)\) и \(\cos(x)\) в исходное выражение:
\(\sin^2(x) + \cos^2(x) + 1.6 = \frac{88}{169} + \left(\frac{9}{13}\right)^2 + 1.6 = \frac{88}{169} + \frac{81}{169} + 1.6 = \frac{88 + 81 + (1.6 \cdot 169)}{169} = \frac{88 + 81 + 270.4}{169} = \frac{439.4}{169} \approx 2.60\)

Ответ: Значение выражения \(\sin^2(x) + \cos^2(x) + 1.6\) при условии \(\cos(x) = \frac{9}{13}\) и \(x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\) примерно равно \(2.60\).

3. Для решения этой задачи нам дано значение \(\cos(a)\), а необходимо определить четверть, в которой находится аргумент \(a^2\), при условии \(a \in (0, \frac{\pi}{2})\).

Из условия задачи нам дано, что \(\cos(a) = \frac{10}{13}\) и \(a\) принадлежит интервалу \((0, \frac{\pi}{2})\).

Так как \(\cos(a) = \frac{10}{13}\) и \(\cos\) является положительной величиной на данном интервале, то значение \(\cos(a)\) положительно. Известно, что на интервале \((0, \frac{\pi}{2})\) значения \(\cos(a)\) положительны только в первой и четвертой четвертях.

Значение \(a^2\) будет лежать в первой четверти, так как измельчение аргумента позволяет сохранить изначальную четверть.

Ответ: Аргумент \(a^2\) находится в первой четверти.

4. Для решения этой задачи нам дано значение \(\cos(x)\), а необходимо вычислить значение \(\tan(2x)\) при условии \(\cos(x) = 0.7\) и \(x = \pi\).

Из теоремы о тройном угле \(\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}\).

Так как нам дано значение \(\cos(x) = 0.7\), то мы можем выразить \(\sin(x)\) из тождества \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\).

Подставим значение \(\cos(x)\):
\[\sin^2(x) + 0.7^2 = 1\]
\[\sin^2(x) = 1 - 0.49 = 0.51\]
\[\sin(x) = \sqrt{0.51} \approx 0.714\]

Теперь нам необходимо выразить \(\tan(x)\) из соотношения \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\):
\[\tan(x) = \frac{\sqrt{0.51}}{0.7} \approx 0.875\]

Подставим это значение в формулу для \(\tan(2x)\):
\[\tan(2x) = \frac{2 \cdot 0.875}{1-0.875^2} = \frac{1.75}{1-0.765625} = \frac{1.75}{0.234375} \approx 7.466\]

Ответ: Значение выражения \(\tan(2x)\) при условии \(\cos(x) = 0.7\) и \(x = \pi\) примерно равно \(7.466\).

5. Для решения этой задачи нам дано значение \(\cos(x)\) и значение \(x\), а необходимо вычислить значение выражения \(\tan^2(x) + \tan(x^2) + 1\) при условии \(\cos(x) = 0.3\) и \(x = 0\).

Из условия задачи нам дано, что \(\cos(x) = 0.3\) и \(x = 0\).

Так как \(\cos(x) = 0.3\) и \(\cos\) является положительной величиной, то значение \(\cos(x)\) положительно. Известно, что на интервале \([0, \frac{\pi}{2}]\) значения \(\cos(x)\) положительны только в первой четверти.

При \(x = 0\) значение \(\tan(x)\) равно \(0\), и соответственно \(\tan^2(x)\) равно \(0\). Также, значение \(\tan(x^2)\) равно \(0\) при \(x = 0\).

Теперь решим исходное выражение:
\(\tan^2(x) + \tan(x^2) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1\)

Ответ: Значение выражения \(\tan^2(x) + \tan(x^2) + 1\) при условии \(\cos(x) = 0.3\) и \(x = 0\) равно \(1\).

6. В перечне представленных ниже равенств нужно отметить те, которые являются тождествами.

A. \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) - Данное равенство является известным тождеством и является верным для всех значений \(x\).
B. \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) - Это равенство определяет тангенс угла \(x\) как отношение синуса угла \(x\) к косинусу угла \(x\) и является верным для всех значений \(x\), где \(\cos(x) \neq 0\).
C. \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\) - Данное равенство является формулой для вычисления косинуса удвоенного угла \(2x\) и является тождеством, верным для всех значений \(x\).
D. \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\) - Это равенство является формулой для вычисления квадрата синуса угла \(x\) и является верным для всех значений \(x\).
E. \(\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\) - Это равенство является формулой для вычисления квадрата тангенса угла \(x\) и является верным для всех значений \(x\), где \(\cos(x) \neq 0\).
F. \(\sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\) - Данное равенство является формулой для вычисления синуса суммы двух углов \(x\) и \(y\) и является верным для всех значений \(x\) и \(y\).
G. \(\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)\) - Это равенство является формулой для вычисления косинуса суммы двух углов \(x\) и \(y\) и является верным для всех значений \(x\) и \(y\).
H. \(\sin(-x) = -\sin(x)\) - Данное равенство определяет значение синуса отрицательного угла и является верным для всех значений \(x\).
I. \(\cos(-x) = \cos(x)\) - Это равенство определяет значение косинуса отрицательного угла и является верным для всех значений \(x\).

Ответ: Тождествами являются равенства A, B, C, D, E, F, G, H и I.