1. Каков результат вычисления выражения cos2x−3,3, если известно, что cosx=813 и x∈(3π2;2π)? 2. Чему равно значение

1. Для решения этой задачи нам необходимо знать значение $\cos (x)$, а затем подставить его в выражение $\cos (2x)-3.3$.

Из условия задачи нам дано, что $\cos (x)=\frac{8}{13}$ и $x$ принадлежит интервалу $(\frac{3\pi }{2},2\pi )$.

Найдем значение $\cos (2x)$ с использованием тригонометрической формулы двойного угла $\cos (2x)=2{\cos }^2(x)-1$.

Подставим значение $\cos (x)$:
$$\cos (2x)=2{\left(\frac{8}{13}\right)}^2-1=2\left(\frac{64}{169}\right)-1=\frac{128}{169}-\frac{169}{169}=\frac{128-169}{169}=-\frac{41}{169}$$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\cos (2x)-3.3=-\frac{41}{169}-3.3=\frac{-41-(3.3\cdot 169)}{169}=\frac{-41-557.7}{169}=\frac{-598.7}{169}\approx -3.54$

Ответ: Результат вычисления выражения $\cos (2x)-3.3$ при условии $\cos (x)=\frac{8}{13}$ и $x\in (\frac{3\pi }{2},2\pi )$ примерно равен $-3.54$.

2. Для решения этой задачи нам необходимо знать значение $\cos (x)$, а затем подставить его в выражение ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)+1.6$.

Из условия задачи нам дано, что $\cos (x)=\frac{9}{13}$ и $x$ принадлежит интервалу $(\frac{3\pi }{2},2\pi )$.

Найдем значения $\sin (x)$ и ${\sin }^2(x)$ с использованием тригонометрической формулы ${\sin }^2(x)=1-{\cos }^2(x)$.

Подставим значение $\cos (x)$:
$${\sin }^2(x)=1-{\left(\frac{9}{13}\right)}^2=1-\frac{81}{169}=\frac{169-81}{169}=\frac{88}{169}$$

Теперь подставим значения ${\sin }^2(x)$ и $\cos (x)$ в исходное выражение:
${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)+1.6=\frac{88}{169}+{\left(\frac{9}{13}\right)}^2+1.6=\frac{88}{169}+\frac{81}{169}+1.6=\frac{88+81+(1.6\cdot 169)}{169}=\frac{88+81+270.4}{169}=\frac{439.4}{169}\approx 2.60$

Ответ: Значение выражения ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)+1.6$ при условии $\cos (x)=\frac{9}{13}$ и $x\in (\frac{3\pi }{2},2\pi )$ примерно равно $2.60$.

3. Для решения этой задачи нам дано значение $\cos (a)$, а необходимо определить четверть, в которой находится аргумент $a^2$, при условии $a\in (0,\frac{\pi }{2})$.

Из условия задачи нам дано, что $\cos (a)=\frac{10}{13}$ и $a$ принадлежит интервалу $(0,\frac{\pi }{2})$.

Так как $\cos (a)=\frac{10}{13}$ и $\cos$ является положительной величиной на данном интервале, то значение $\cos (a)$ положительно. Известно, что на интервале $(0,\frac{\pi }{2})$ значения $\cos (a)$ положительны только в первой и четвертой четвертях.

Значение $a^2$ будет лежать в первой четверти, так как измельчение аргумента позволяет сохранить изначальную четверть.

Ответ: Аргумент $a^2$ находится в первой четверти.

4. Для решения этой задачи нам дано значение $\cos (x)$, а необходимо вычислить значение $\tan (2x)$ при условии $\cos (x)=0.7$ и $x=\pi$.

Из теоремы о тройном угле $\tan (2x)=\frac{2\tan (x)}{1-{\tan }^2(x)}$.

Так как нам дано значение $\cos (x)=0.7$, то мы можем выразить $\sin (x)$ из тождества ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$.

Подставим значение $\cos (x)$:
$${\sin }^2(x)+{0.7}^2=1$$
$${\sin }^2(x)=1-0.49=0.51$$
$$\sin (x)=\sqrt{0.51}\approx 0.714$$

Теперь нам необходимо выразить $\tan (x)$ из соотношения $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$:
$$\tan (x)=\frac{\sqrt{0.51}}{0.7}\approx 0.875$$

Подставим это значение в формулу для $\tan (2x)$:
$$\tan (2x)=\frac{2\cdot 0.875}{1-{0.875}^2}=\frac{1.75}{1-0.765625}=\frac{1.75}{0.234375}\approx 7.466$$

Ответ: Значение выражения $\tan (2x)$ при условии $\cos (x)=0.7$ и $x=\pi$ примерно равно $7.466$.

5. Для решения этой задачи нам дано значение $\cos (x)$ и значение $x$, а необходимо вычислить значение выражения ${\tan }^2(x)+\tan (x^2)+1$ при условии $\cos (x)=0.3$ и $x=0$.

Из условия задачи нам дано, что $\cos (x)=0.3$ и $x=0$.

Так как $\cos (x)=0.3$ и $\cos$ является положительной величиной, то значение $\cos (x)$ положительно. Известно, что на интервале $[0,\frac{\pi }{2}]$ значения $\cos (x)$ положительны только в первой четверти.

При $x=0$ значение $\tan (x)$ равно $0$, и соответственно ${\tan }^2(x)$ равно $0$. Также, значение $\tan (x^2)$ равно $0$ при $x=0$.

Теперь решим исходное выражение:
${\tan }^2(x)+\tan (x^2)+1=0+0+1=1$

Ответ: Значение выражения ${\tan }^2(x)+\tan (x^2)+1$ при условии $\cos (x)=0.3$ и $x=0$ равно $1$.

6. В перечне представленных ниже равенств нужно отметить те, которые являются тождествами.

A. ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$ - Данное равенство является известным тождеством и является верным для всех значений $x$.
B. $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ - Это равенство определяет тангенс угла $x$ как отношение синуса угла $x$ к косинусу угла $x$ и является верным для всех значений $x$, где $\cos (x)\ne 0$.
C. $\cos (2x)=2{\cos }^2(x)-1$ - Данное равенство является формулой для вычисления косинуса удвоенного угла $2x$ и является тождеством, верным для всех значений $x$.
D. ${\sin }^2(x)=1-{\cos }^2(x)$ - Это равенство является формулой для вычисления квадрата синуса угла $x$ и является верным для всех значений $x$.
E. ${\tan }^2(x)=\frac{{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$ - Это равенство является формулой для вычисления квадрата тангенса угла $x$ и является верным для всех значений $x$, где $\cos (x)\ne 0$.
F. $\sin (x+y)=\sin (x)\cos (y)+\cos (x)\sin (y)$ - Данное равенство является формулой для вычисления синуса суммы двух углов $x$ и $y$ и является верным для всех значений $x$ и $y$.
G. $\cos (x+y)=\cos (x)\cos (y)-\sin (x)\sin (y)$ - Это равенство является формулой для вычисления косинуса суммы двух углов $x$ и $y$ и является верным для всех значений $x$ и $y$.
H. $\sin (-x)=-\sin (x)$ - Данное равенство определяет значение синуса отрицательного угла и является верным для всех значений $x$.
I. $\cos (-x)=\cos (x)$ - Это равенство определяет значение косинуса отрицательного угла и является верным для всех значений $x$.

Ответ: Тождествами являются равенства A, B, C, D, E, F, G, H и I.