Какую третью координату имеет орт вектора, в направлении которого функция u = 3^(x-y^2-z) быстрее всего уменьшается

Для начала, давайте найдем градиент функции \(u\), который является вектором, указывающим наибольшее направление изменения функции. Градиент вычисляется как вектор частных производных функции \(u\) по каждой из переменных \(x\), \(y\) и \(z\).

Поскольку \(u = 3^{(x-y^2-z)}\), возьмем частные производные этой функции по каждой переменной.

\[\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3^{(x-y^2-z)} \cdot \ln(3)\]
\[\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -2y \cdot 3^{(x-y^2-z)} \cdot \ln(3)\]
\[\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = -3^{(x-y^2-z)} \cdot \ln(3)\]

Теперь, найдем этот градиент в точке \(m(1, 2, 3)\), подставляя значения переменных в полученные частные производные:

\[\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3^{(1-2^2-3)} \cdot \ln(3)\]
\[\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -2 \cdot 2 \cdot 3^{(1-2^2-3)} \cdot \ln(3)\]
\[\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = -3^{(1-2^2-3)} \cdot \ln(3)\]

Вычислим значения:

\[\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3^{-6} \cdot \ln(3)\]
\[\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -4 \cdot 3^{-6} \cdot \ln(3)\]
\[\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = -3^{-6} \cdot \ln(3)\]

Теперь можем составить вектор, состоящий из этих трех частных производных:

\[\nabla u = \left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}, \frac{{\partial u}}{{\partial y}}, \frac{{\partial u}}{{\partial z}}\right) = \left(3^{-6} \cdot \ln(3), -4 \cdot 3^{-6} \cdot \ln(3), -3^{-6} \cdot \ln(3)\right)\]

Таким образом, вектор градиента \(\nabla u\) указывает направление наибольшего увеличения функции \(u\) в точке \(m(1, 2, 3)\). А поскольку мы ищем направление, в котором функция \(u\) уменьшается быстрее всего, мы должны рассмотреть противоположное направление градиента, то есть \(-\nabla u\).

Чтобы найти орт вектора, мы должны нормализовать \(-\nabla u\), то есть преобразовать его в вектор единичной длины, сохраняя его направление.

Для нормализации вектора мы делим каждую компоненту вектора на его длину:

\[\|\nabla u\| = \sqrt{\left(3^{-6} \cdot \ln(3)\right)^2 + \left(-4 \cdot 3^{-6} \cdot \ln(3)\right)^2 + \left(-3^{-6} \cdot \ln(3)\right)^2}\]

После вычислений, получим значение длины вектора \(\|\nabla u\|\). Теперь можем найти орт вектора по формуле:

\[\text{Орт вектора} = \frac{-\nabla u}{\|\nabla u\|}\]

Подставим значения компонент вектора \(-\nabla u\) и его длину \(\|\nabla u\|\) в эту формулу и рассчитаем третью координату орта вектора в направлении, которого функция \(u\) быстрее всего уменьшается в точке \(m(1, 2, 3)\).