Какую третью координату имеет орт вектора, в направлении которого функция u = 3^(x-y^2-z) быстрее всего уменьшается

  • Дек 7, 2023
Какую третью координату имеет орт вектора, в направлении которого функция u = 3^(x-y^2-z) быстрее всего уменьшается в точке m(1, y, z)?
Букашка_2456

Букашка_2456

Для начала, давайте найдем градиент функции u, который является вектором, указывающим наибольшее направление изменения функции. Градиент вычисляется как вектор частных производных функции u по каждой из переменных x, y и z.

Поскольку u=3(x−y2−z), возьмем частные производные этой функции по каждой переменной.

∂u∂x=3(x−y2−z)⋅ln⁡(3)
∂u∂y=−2y⋅3(x−y2−z)⋅ln⁡(3)
∂u∂z=−3(x−y2−z)⋅ln⁡(3)

Теперь, найдем этот градиент в точке m(1,2,3), подставляя значения переменных в полученные частные производные:

∂u∂x=3(1−22−3)⋅ln⁡(3)
∂u∂y=−2⋅2⋅3(1−22−3)⋅ln⁡(3)
∂u∂z=−3(1−22−3)⋅ln⁡(3)

Вычислим значения:

∂u∂x=3−6⋅ln⁡(3)
∂u∂y=−4⋅3−6⋅ln⁡(3)
∂u∂z=−3−6⋅ln⁡(3)

Теперь можем составить вектор, состоящий из этих трех частных производных:

∇u=(∂u∂x,∂u∂y,∂u∂z)=(3−6⋅ln⁡(3),−4⋅3−6⋅ln⁡(3),−3−6⋅ln⁡(3))

Таким образом, вектор градиента ∇u указывает направление наибольшего увеличения функции u в точке m(1,2,3). А поскольку мы ищем направление, в котором функция u уменьшается быстрее всего, мы должны рассмотреть противоположное направление градиента, то есть −∇u.

Чтобы найти орт вектора, мы должны нормализовать −∇u, то есть преобразовать его в вектор единичной длины, сохраняя его направление.

Для нормализации вектора мы делим каждую компоненту вектора на его длину:

‖∇u‖=(3−6⋅ln⁡(3))2+(−4⋅3−6⋅ln⁡(3))2+(−3−6⋅ln⁡(3))2

После вычислений, получим значение длины вектора ‖∇u‖. Теперь можем найти орт вектора по формуле:

Орт вектора=−∇u‖∇u‖

Подставим значения компонент вектора −∇u и его длину ‖∇u‖ в эту формулу и рассчитаем третью координату орта вектора в направлении, которого функция u быстрее всего уменьшается в точке m(1,2,3).
Знаешь ответ?
Алгебра

Какова площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если апофема равна 4см...
  • Дек 16, 2023
Алгебра

Найдите корни уравнения x^2=ax+b, используя графики. Запишите значения корней...
  • Дек 16, 2023

О проекте

О нас

Мы такая же школота как ты ;)

signature
znayte.com

Предметы

Задать вопрос
Привет!
hello