Какую функцию f(x) нужно найти, чтобы F(x)√3x+1 была первообразной на интервале (-1;+бесконечность)?

Чтобы функция \( F(x) = \sqrt{3x+1} \) была первообразной на интервале \((-1, +\infty)\), нам необходимо найти такую функцию \( f(x) \), производная которой равна \( F(x) \).

Для решения данной задачи мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:
\[
\int u\, dv = uv - \int v\, du
\]

Первым шагом давайте разложим функцию \( F(x) = \sqrt{3x+1} \) на произведение двух функций, чтобы применить метод интегрирования по частям. Примем:
\[
u = \sqrt{3x+1} \quad и \quad dv = dx
\]

Тогда находим производные:
\[
du = \frac{d}{dx} (\sqrt{3x+1}) \, dx \quad и \quad v = \int 1 \, dx = x
\]

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
\[
\int \sqrt{3x+1} \, dx = \int u \, dv = uv - \int v \, du = x\sqrt{3x+1} - \int x \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{3x+1}) \, dx
\]

Последний интеграл вычисляем, используя правило дифференцирования сложной функции:
\[
\frac{d}{dx} (\sqrt{3x+1}) = \frac{1}{2} \cdot (3x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}
\]

Итак, получаем окончательный ответ:
\[
\int \sqrt{3x+1} \, dx = x\sqrt{3x+1} - \frac{3}{2} \int \frac{x}{\sqrt{3x+1}} \, dx
\]

Теперь задача сводится к интегрированию функции \( \int \frac{x}{\sqrt{3x+1}} \, dx \). Если вам необходимо, я могу продолжить решение данного интеграла или дать ответ на другие вопросы.