Какой знаменатель имеет геометрическая прогрессия, если её шестой член превышает четвёртый на 63, а второй член

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть первый член нашей геометрической прогрессии будет \(a\), а знаменатель - \(q\). Тогда второй член будет равен \(aq\), а четвёртый - \(aq^3\).

У нас есть два условия в задаче:

1) Шестой член превышает четвёртый на 63. В формуле это будет выглядеть так: \(aq^5 > aq^3 + 63\).

2) Второй член превышает четвёртый на 21. В формуле это будет выглядеть так: \(aq > aq^3 + 21\).

Теперь давайте решим первое уравнение:

\[aq^5 > aq^3 + 63\]

Вычтем \(aq^3\) из обеих частей:

\[aq^5 - aq^3 > 63\]

Получаем:

\[aq^3(q^2 - 1) > 63\]

Теперь посмотрим на второе условие:

\[aq > aq^3 + 21\]

Вычтем \(aq^3\) из обеих частей:

\[aq - aq^3 > 21\]

Получаем:

\[aq(1 - q^2) > 21\]

Мы получили систему неравенств:
\[\begin{align*}
aq^3(q^2 - 1) &> 63 \\
aq(1 - q^2) &> 21 \\
\end{align*}\]

Теперь решим эту систему неравенств графически.

Для этого построим графики функций \(y = aq^3(q^2 - 1)\) и \(y = aq(1 - q^2)\).

Заметим, что если знаменатель \(q\) превышает 0, то \(y\) будет положительным, а если \(q\) меньше 0, то \(y\) будет отрицательным.

\noindent\(\begin{array}{|c|c|}
\hline
q & \text{Знак } y = aq^3(q^2 - 1) \\
\hline
-1 & + \\
\hline
-0.5 & - \\
\hline
0 & 0 \\
\hline
0.5 & - \\
\hline
1 & + \\
\hline
\end{array}\)

\noindent\(\begin{array}{|c|c|}
\hline
q & \text{Знак } y = aq(1 - q^2) \\
\hline
-1 & + \\
\hline
-0.5 & + \\
\hline
0 & 0 \\
\hline
0.5 & - \\
\hline
1 & - \\
\hline
\end{array}\)

Теперь найдем интервалы значений \(q\), при которых оба неравенства выполняются одновременно.

1) Когда \(q\) в интервале \((-1, -0.5)\), оба неравенства выполняются, так как \(y\) при этом отрицательные значения.

2) Когда \(q\) в интервале \((0.5, 1)\), оба неравенства также выполняются, так как \(y\) при этом положительные значения.

Поэтому, знаменатель геометрической прогрессии может иметь два значения: -0.5 и 0.

Таким образом, ответ на задачу: \(\boxed{\text{2) } \sqrt{3}}\).