Какой заряд следует поместить в центре сферы, чтобы система была в покое?

Чтобы система была в покое, необходимо, чтобы все силы, действующие на сферу, были взаимно уравновешены. Давайте рассмотрим данную задачу более подробно.

Предположим, что у нас есть сфера радиусом \( R \) и зарядом \( Q \), а также точечный заряд на расстоянии \( r \) от центра сферы. Масса сферы и ее заряд распределены равномерно.

Для начала, рассмотрим гравитационную силу, действующую на сферу. Так как система находится в покое, гравитационная сила, действующая на сферу, должна быть уравновешена силой кулоновского взаимодействия.

Сила гравитационного взаимодействия между сферой и точечным зарядом определяется законом гравитационного взаимодействия Ньютона:

\[
F_{\text{{грав}}} = G \frac{{m_1 m_2}}{{r^2}}
\]

где \( F_{\text{{грав}}} \) - гравитационная сила, \( G \) - гравитационная постоянная, \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы сферы и точечного заряда соответственно, \( r \) - расстояние между ними.

Кулоновская сила взаимодействия между сферой и точечным зарядом определяется законом Кулона:

\[
F_{\text{{кул}}} = \frac{{k Q q}}{{r^2}}
\]

где \( F_{\text{{кул}}} \) - кулоновская сила, \( k \) - постоянная Кулона, \( Q \) и \( q \) - заряды сферы и точечного заряда соответственно, \( r \) - расстояние между ними.

Для того чтобы система находилась в покое, необходимо, чтобы гравитационная и кулоновская силы были равны:

\[
F_{\text{{грав}}} = F_{\text{{кул}}}
\]

Так как сфера находится в покое, его масса равна нулю и перекрестим его, получим следующее:

\[
G \frac{{m_1 m_2}}{{r^2}} = \frac{{k Q q}}{{r^2}}
\]

Упрощая это уравнение, получим:

\[
m_1 m_2 = \frac{{k Q q}}{{G}}
\]

Известно, что масса сферы равна её объему, умноженному на плотность:

\[
m_1 = \frac{{4}{3} \pi R^3 \rho}
\]

где \( \rho \) - плотность сферы.

Подставляя это значение в уравнение, получим:

\[
\frac{{4}{3} \pi R^3 \rho m_2}{{r^2}} = \frac{{k Q q}}{{G}}
\]

Теперь мы можем найти заряд сферы, чтобы система оставалась в покое и силы были равными:

\[
Q = \frac{{\frac{{4}{3} \pi R^3 \rho m_2}}{{k q \frac{{G}}{{r^2}}}}}
\]

Таким образом, чтобы система была в покое, необходимо поместить заряд \( Q \) в центре сферы, где \( Q \) будет определено вышеуказанной формулой. Ответ может быть найден, если известны значения \( R \), \( \rho \), \( m_2 \), \( q \), \( k \) и \( G \).