Какой вид имеет первообразная F(x)=1+ 1/sin^2?

Хорошо, для начала давайте разберемся, что такое первообразная функции. Первообразная функции является обратной операцией к нахождению производной. Если у нас есть функция \(f(x)\), то ее первообразной называется такая функция \(F(x)\), производная которой равна функции \(f(x)\).

Итак, нам дана функция \(F(x) = 1 + \frac{1}{{\sin^2 x}}\). Чтобы найти ее первообразную, мы должны выразить \(F(x)\) через элементарные функции. Давайте разложим данную функцию на две: \(F(x) = 1 + \csc^2 x\).

Теперь рассмотрим каждую из функций по отдельности. Первая функция - это константа, обозначенная единицей, и ее первообразная будет равна \(x\).

Теперь рассмотрим вторую функцию \(f(x) = \csc^2 x\). Чтобы найти ее первообразную, вспомним, что производная функции \(\csc x\) равна \(-\csc x \cot x\). Тогда, применяя формулу замены переменной, можем получить:

\[
\int \csc^2 x \, dx = \int -\csc x \cot x \, dx
\]

Проведем замену переменной, пусть \(u = \csc x\). Тогда \(du = -\csc x \cot x \, dx\). Заменив в нашем интеграле \(du\), получим:

\[
\int -du = -u + C = -\csc x + C
\]

Теперь, объединяем полученные результаты для каждой из функций:

\[
F(x) = 1 + 1 \cdot (-\csc x + C) = 1 - \csc x + C = -\csc x + C + 1
\]

Таким образом, первообразная функции \(F(x) = 1 + \frac{1}{{\sin^2 x}}\) имеет вид \(-\csc x + C + 1\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Надеюсь, эта подробная и объяснительная запись помогла вам понять решение задачи.