Сколько корней имеет уравнение X⁴+9x²+4=0?

Question

Алгебра: Сколько корней имеет уравнение X⁴+9x²+4=0?

Хвостик · Accepted Answer

Для решения этой задачи, нам необходимо найти количество корней уравнения

x^{4} + 9 x^{2} + 4 = 0

.

Для начала, давайте заменим

x^{2}

на

y

, чтобы получить квадратное уравнение относительно

y

:

y^{2} + 9 y + 4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно

y

и найти значения

y

, которые будут корнями.

Используем квадратное уравнение для нахождения значений

y

:

y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Сравним уравнение

y^{2} + 9 y + 4 = 0

с общим видом квадратного уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

и найдем значения

a

,

b

и

c

:

a = 1, b = 9, c = 4

Подставим эти значения в формулу для нахождения корней

y

:

y = \frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

Выполним вычисления:

y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 16}}{2}

y = \frac{- 9 \pm \sqrt{65}}{2}

Теперь у нас есть два значения

y

. Чтобы найти значения

x

, мы должны заменить

y

обратно на

x^{2}

.

x^{2} = \frac{- 9 \pm \sqrt{65}}{2}

Теперь найдем значения

x

:

x_{1} = \sqrt{\frac{- 9 + \sqrt{65}}{2}}

x_{2} = - \sqrt{\frac{- 9 + \sqrt{65}}{2}}

x_{3} = \sqrt{\frac{- 9 - \sqrt{65}}{2}}

x_{4} = - \sqrt{\frac{- 9 - \sqrt{65}}{2}}

Таким образом, уравнение

x^{4} + 9 x^{2} + 4 = 0

имеет четыре корня:

x_{1}

,

x_{2}

,

x_{3}

и

x_{4}

, которые мы только что нашли.

Думаю, что этот ответ понятен школьнику и содержит все необходимые пояснения и шаги для решения задачи.