Какой угол образует диагональ куба с плоскостью его основания, если длина его ребра равна

Пусть длина ребра куба равна \(a\). Чтобы определить угол между диагональю и плоскостью основания куба, нам необходимо разобраться в геометрии куба.

Куб состоит из шести граней, и каждая из этих граней является квадратом. Основание куба - это одна из его плоских граней.

Мы можем найти диагонали плоских граней куба, используя теорему Пифагора. Для квадрата со стороной \(a\), его диагональ равна \(\sqrt{2}a\) (это можно вывести из применения теоремы Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному диагональю и двумя сторонами квадрата).

Теперь, чтобы найти угол между диагональю куба и плоскостью его основания, проецируем диагональ на плоскость основания. На рисунке ниже я представил чертеж для наглядности:

\[
\begin{array}{ccccccc}
& & & D & & & \\
& & & \uparrow & & & \\
& & & | & & & \\
& & & | & & & \\
AB & \longrightarrow & & & & & \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
\end{array}
\]

Здесь \(AB\) - это ребро куба, \(AD\) - диагональ куба, \(D\) - проекция \(D\) на плоскость основания.

Поскольку диагональ плоской грани куба образует прямой угол с этой плоскостью, мы можем увидеть, что угол между диагональю куба \(AD\) и плоскостью основания равен углу между ребром \(AB\) и проекцией диагонали \(D\).

Таким образом, чтобы найти этот угол, нам нужно рассмотреть прямоугольный треугольник \(ABD\), где \(AB = a\) и \(AD = \sqrt{2}a\).

Определим тангенс угла между \(AB\) и \(AD\), используя определение тангенса:

\[
\tan(\angle BAD) = \frac{AB}{AD}
\]

Подставим значения \(AB = a\) и \(AD = \sqrt{2}a\):

\[
\tan(\angle BAD) = \frac{a}{\sqrt{2}a}
\]

Упрощаем:

\[
\tan(\angle BAD) = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Чтобы найти угол \(\angle BAD\), возьмем обратный тангенс от обеих сторон:

\[
\angle BAD = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
\]

Округлим это значение до ближайшего удобного значения. Единицей измерения угла в школьной геометрии является градус, поэтому округлим до градусов:

\[
\angle BAD \approx 35.26^{\circ}
\]

Таким образом, угол между диагональю куба и плоскостью его основания равен приблизительно \(35.26\) градусов.