Какой угол к направлению течения должен выбрать пловец, чтобы переплыть реку шириной h в кратчайшее время? Какое

Чтобы найти угол к направлению течения, при котором пловец переплывет реку шириной \(h\) в кратчайшее время, мы можем использовать понятие относительной скорости. Относительная скорость пловца относительно воды равна разности скорости пловца относительно земли и скорости течения реки. Для нахождения относительной скорости в м/с, учтем, что скорость пловца относительно земли равна \(v = 2\) км/ч, что равно \(2 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{10}{9}\) м/с, а скорость течения реки равна \(u = 1\) м/с.

Теперь, чтобы найти угол, при котором пловец должен перемещаться относительно воды, используем тригонометрию. Представим, что пловец плывет под углом \(\theta\) к направлению течения. Тогда горизонтальная скорость пловца будет равна \(v \cdot \cos \theta\), а вертикальная скорость, обусловленная течением реки, будет равна \(u\).

Пусть \(S\) - это расстояние, которое пловец проплывет относительно берега. Так как пловец будет плыть прямым путем (относительно берега), нам нужно найти время, за которое он переплывет реку. Для этого мы можем воспользоваться формулой времени пути \(t = \frac{S}{v \cdot \cos \theta}\).

Чтобы минимизировать время пути и пройти наименьшее расстояние, пловец должен выбрать такой угол \(\theta\), при котором горизонтальная скорость пловца будет наибольшей. Для этого возьмем производную скорости по углу \(\theta\) и приравняем ее к нулю:

\(\frac{d(v \cdot \cos \theta)}{d\theta} = 0\).

Беря производную, мы получаем: \(-v \cdot \sin \theta = 0\).

Отсюда следует, что \(\sin \theta = 0\), и значит, угол \(\theta = 0\) или \(\theta = \pi\). Однако, угол \(\theta = \pi\) не имеет смысла в этой задаче, так как он означает, что пловец плывет в направлении против течения реки.

Таким образом, пловец должен выбрать угол \(\theta = 0\) градусов, что означает, что он должен плыть прямо на встречу течению реки. В этом случае горизонтальная скорость пловца будет равна максимальной скорости \(v = \frac{10}{9}\) м/с.

Теперь можно найти время пути:

\(t = \frac{S}{v \cdot \cos \theta} = \frac{S}{\frac{10}{9} \cdot 1} = \frac{9S}{10}\).

Используя формулу времени пути \(t = \frac{S}{v \cdot \cos \theta}\), мы можем выразить расстояние \(S\) через время пути и горизонтальную скорость:

\(S = t \cdot v \cdot \cos \theta = \frac{9S}{10} \cdot \frac{10}{9} \cdot 1\).

Теперь решим полученное уравнение относительно \(S\):

\(S = \frac{9S}{10}\).

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от знаменателя:

\(10S = 9S\).

Вычтем \(9S\) из обеих частей уравнения:

\(10S - 9S = 0\).

Остается:

\(S = 0\).

Таким образом, пловец проплывет расстояние \(S = 0\) метров относительно берега. Это означает, что он останется на месте и не сможет преодолеть течение реки.

Значит, наш ответ - пловец не сможет переплыть реку шириной 50 м при данных условиях соблюдения кратчайшего времени.