Какой угол DCA нужно найти в трапеции ABCD с данными: BC=10, BA=9, AC=14, CD=15, AD=21, угол B=80° и угол D=55°?

Чтобы найти угол DCA в трапеции ABCD, нам понадобится использовать информацию, предоставленную в задаче. Для начала, давайте визуализируем данную трапецию и обозначим известные значения:

\[
\begin{align*}
BC &= 10 \\
BA &= 9 \\
AC &= 14 \\
CD &= 15 \\
AD &= 21 \\
\angle B &= 80° \\
\angle D &= 55° \\
\end{align*}
\]

Теперь посмотрим на структуру трапеции ABCD. Чтобы найти угол DCA, нам нужно понять, как связаны стороны и углы данного многоугольника.

Сначала обратим внимание на углы противоположных сторон трапеции. Зафиксируем внимание на угле A напротив стороны CD и угле B напротив стороны AD.

Теперь используем свойства трапеции. Трапеция ABCD имеет особые свойства, одно из которых состоит в том, что противоположные углы (углы лежащие на одной прямой с прямым углом) дополняются до 180°.

Зная, что угол B равен 80°, мы можем найти угол A, используя это свойство:

\[
\begin{align*}
\angle A &= 180° - \angle B \\
\angle A &= 180° - 80° \\
\angle A &= 100° \\
\end{align*}
\]

Мы нашли угол A, который равен 100°.

Теперь обратим внимание на стороны трапеции ABCD. Заметим, что сторона AD параллельна стороне BC и сторона CD параллельна стороне AB.

Мы знаем, что сторона AD равна 21 и сторона BC равна 10. Теперь рассмотрим треугольник ACD.

В треугольнике ACD, у нас есть сторона AD = 21, сторона CD = 15 и сторона AC = 14.

Давайте применим теорему косинусов для нахождения угла DCA. Эта теорема гласит:

\[
AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle DCA)
\]

Подставим известные значения и найдем неизвестный угол:

\[
14^2 = 21^2 + 15^2 - 2 \cdot 21 \cdot 15 \cdot \cos(\angle DCA)
\]

\[
196 = 441 + 225 - 630 \cdot \cos(\angle DCA)
\]

\[
-470 = -630 \cdot \cos(\angle DCA)
\]

Теперь найдем значение \( \cos(\angle DCA) \):

\[
\cos(\angle DCA) = \frac{-470}{-630} = \frac{47}{63}
\]

Используя обратную функцию \( \cos^{-1} \), найдем угол DCA:

\[
\angle DCA = \cos^{-1} \left(\frac{47}{63}\right) \approx 46.3°
\]

Таким образом, угол DCA примерно равен 46.3°.