Какой радиус окружности, если треугольник МКН вписан в нее так, что центр окружности лежит на стороне МК и стороны

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства вписанных углов и равнобедренных треугольников.

Дано, что треугольник МКН вписан в окружность, а центр окружности лежит на стороне МК. Обозначим центр окружности как О.

Заметим, что треугольник МКН является равнобедренным, так как сторона МН равна стороне НК (9 см). Из этого следует, что угол МОК также является равным углу ОКН, так как они соответствуют равным сторонам.

Теперь посмотрим на треугольник МОК. Он является прямоугольным, так как один из его углов (угол МОК) равен 90 градусам.

Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения радиуса окружности. По теореме Пифагора:
$$М{К}^2=М{О}^2+О{К}^2$$

Пусть радиус окружности равен R. Тогда МО равно R, и ОК равно R - 12 (так как сторона МН = 9 см, а сторона МК = МО = R, поэтому сторона НК = R - 12).

Подставим значения в формулу Пифагора:
$$М{К}^2=R^2+(R-12{)}^2$$

Разложим квадраты разности на квадраты суммы и разности:
$$М{К}^2=R^2+R^2-24R+144$$

Соберем все слагаемые:
$$2R^2-24R+144=0$$

Разделим всю формулу на 2 для упрощения уравнения:
$$R^2-12R+72=0$$

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена. Используя формулу:
$$R=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

В нашем случае a = 1, b = -12, c = 72. Подставляя значения, получим:
$$R=\frac{-(-12)\pm \sqrt{(-12{)}^2-4\cdot 1\cdot 72}}{2\cdot 1}$$

Выполняя вычисления, получим два возможных значения для R:
$$R_1=6$$
$$R_2=6$$

Так как радиус окружности не может быть отрицательным, ответом на эту задачу будет $R=6$ см.

Таким образом, радиус окружности составляет 6 см.