Каков радиус окружности, которая описывает треугольник с одним углом, равным 45° и противолежащей стороной, равной

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые знания о связи радиуса описанной окружности и сторон треугольника.

Правило гласит, что радиус описанной окружности треугольника равен произведению сторон треугольника, разделенному на удвоенную площадь этого треугольника.

В нашем случае треугольник имеет один угол, равный 45°, так что это равнобедренный треугольник. Это означает, что две равные стороны противолежат равному углу. Пусть это значение стороны равно \(x\).

Чтобы найти радиус описанной окружности, нам сначала нужно найти площадь треугольника. Мы можем использовать формулу площади треугольника, которая гласит: площадь равна половине произведения длин двух сторон на синус между ними.

Так как у нас равнобедренный треугольник, то две стороны будут равны \(x\) и третья сторона, противолежащая 45° углу, также равна \(x\).

Таким образом, площадь треугольника будет равна:
\[
\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \sin(45^\circ)
\]

Зная площадь треугольника, мы можем найти радиус описанной окружности, используя формулу:
\[
\text{Радиус окружности} = \frac{x \cdot x}{2 \cdot \text{Площадь}}
\]

Решим эту задачу, вставив значения в формулы и рассчитав результаты.

\[
\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{x^2\sqrt{2}}{4}
\]

Теперь найдем радиус окружности:

\[
\text{Радиус окружности} = \frac{x \cdot x}{2 \cdot \text{Площадь}} = \frac{x^2}{2 \cdot \left(\frac{x^2\sqrt{2}}{4}\right)} = \frac{4x^2}{2x^2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2
\]

Таким образом, радиус окружности, описывающей треугольник с одним углом, равным 45° и противолежащей стороной, равной \(x\), составляет 2 единицы длины.