Какой минимальный объем конуса, в который вписан шар радиусом

Хорошо! Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и соотношениями между радиусами шара и конуса.

Рассмотрим конус с радиусом основания \( R \) и высотой \( h \), в который вписан шар радиусом \( r \). Обозначим диаметр шара через \( d \). Тогда, обратимся к теореме Пифагора, примененной к правильному треугольнику, образованному радиусами шара и конуса, а также высотой конуса:

\[ R^2 = (R - r)^2 + h^2 \]

Также, у нас есть соотношение, что диаметр шара равен двум радиусам шара:

\[ d = 2r \]

Мы можем заменить \( r \) в первом уравнении на \( \frac{d}{2} \), и решить его относительно \( h \):

\[ R^2 = (R - \frac{d}{2})^2 + h^2 \]

\[ h^2 = R^2 - (R - \frac{d}{2})^2 \]

\[ h^2 = R^2 - (R^2 - 2R\cdot\frac{d}{2} + (\frac{d}{2})^2) \]

\[ h^2 = 2R\cdot\frac{d}{2} - (\frac{d}{2})^2 \]

\[ h^2 = 2R\cdot\frac{d}{2} - \frac{d^2}{4} \]

\[ h^2 = dR - \frac{d^2}{4} \]

Таким образом, мы получили квадрат высоты конуса \( h \) через диаметр шара \( d \) и радиус основания конуса \( R \). Теперь, для нахождения минимального объема конуса, мы можем использовать формулу для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3}\pi R^2h \]

Заменим \( h \) в формуле объема конуса, используя наше предыдущее соотношение:

\[ V = \frac{1}{3}\pi R^2 (dR - \frac{d^2}{4}) \]

\[ V = \frac{1}{3}\pi(R^3d - \frac{R^2d^2}{4}) \]

Таким образом, минимальный объем конуса равен \( \frac{1}{3}\pi(R^3d - \frac{R^2d^2}{4}) \).

Надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам решить задачу.