Какой радиус имеет окружность, если длина отрезка касательной AK составляет 7√3 мм, а угол ∢OAK равен 30 градусам?
Весна
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательной окружности и теоремой синусов.
Сначала рассмотрим треугольник АОK, где O - центр окружности, А - точка касания касательной, а К - точка пересечения касательной и окружности.
Из условия задачи известно, что длина отрезка АК составляет 7√3 мм. Заметим, что отрезок АО - это радиус окружности, который мы и ищем, обозначим его через r.
Также, у нас есть информация о угле ∢OAK, который равен 30 градусам. Обозначим этот угол через α.
Используя теорему синусов в треугольнике АОК, получим следующее соотношение:
\[\frac{AO}{\sin α} = \frac{AK}{\sin \angle AOK}\]
Заменяя известные значения и обозначения, получим:
\[\frac{r}{\sin 30^\circ} = \frac{7\sqrt{3}}{\sin \angle AOK}\]
Для удобства, заметим, что sin 30° = 1/2 и sin \angle AOK = sin 90° (так как касательная перпендикулярна радиусу, а радиус является радиусом окружности и её полностью пересекает). Подставим эти значения и продолжим:
\[\frac{r}{\frac{1}{2}} = \frac{7\sqrt{3}}{1}\]
Умножим обе части уравнения на 2:
\[2r = 7\sqrt{3}\]
Разделим обе части уравнения на 2:
\[r = \frac{7\sqrt{3}}{2}\]
Таким образом, радиус окружности равен \(\frac{7\sqrt{3}}{2}\) мм.
Сначала рассмотрим треугольник АОK, где O - центр окружности, А - точка касания касательной, а К - точка пересечения касательной и окружности.
Из условия задачи известно, что длина отрезка АК составляет 7√3 мм. Заметим, что отрезок АО - это радиус окружности, который мы и ищем, обозначим его через r.
Также, у нас есть информация о угле ∢OAK, который равен 30 градусам. Обозначим этот угол через α.
Используя теорему синусов в треугольнике АОК, получим следующее соотношение:
\[\frac{AO}{\sin α} = \frac{AK}{\sin \angle AOK}\]
Заменяя известные значения и обозначения, получим:
\[\frac{r}{\sin 30^\circ} = \frac{7\sqrt{3}}{\sin \angle AOK}\]
Для удобства, заметим, что sin 30° = 1/2 и sin \angle AOK = sin 90° (так как касательная перпендикулярна радиусу, а радиус является радиусом окружности и её полностью пересекает). Подставим эти значения и продолжим:
\[\frac{r}{\frac{1}{2}} = \frac{7\sqrt{3}}{1}\]
Умножим обе части уравнения на 2:
\[2r = 7\sqrt{3}\]
Разделим обе части уравнения на 2:
\[r = \frac{7\sqrt{3}}{2}\]
Таким образом, радиус окружности равен \(\frac{7\sqrt{3}}{2}\) мм.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
