Какой путь является более коротким - проходить от одного дома до другого по дуге окружности или через центр окружности?

Итак, чтобы ответить на этот вопрос, давайте сначала рассмотрим два пути - по дуге окружности и через центр окружности - и проанализируем каждый из них.

1. Проход по дуге окружности:
Предположим, что у нас есть два дома - дом А и дом Б, а также окружность с центром в точке О. Мы хотим найти самый короткий путь между этими домами. Для этого мы можем пройти от дома А до точки С на окружности, а затем - от точки С до дома Б по другой дуге окружности. Обозначим радиус этой окружности как r и длину дуги, соответствующей углу между домами А и Б, как s.

Теперь, чтобы найти длину дуги s, мы можем использовать формулу длины дуги окружности:

$$s=r\cdot \theta$$

где $\theta$ - центральный угол, измеряемый в радианах. В нашем случае, полный центральный угол для полного оборота окружности составляет $2\pi$ радиан. Однако, для простоты решения, давайте предположим, что угол между домами А и Б составляет $\frac{\pi }{2}$ радиана (т.е. 90 градусов). Тогда мы можем выразить длину дуги s:

$$s=r\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi r}{2}$$

2. Проход через центр окружности:
В этом случае, чтобы найти самый короткий путь, мы должны пройти от дома А до центра окружности (точка О), а затем - от точки О до дома Б. Обозначим расстояние между домами А и Б как d.

Теперь нам нужно вычислить расстояние от дома А до центра окружности и от центра окружности до дома Б. По свойствам окружности, расстояние от центра окружности до любой точки на окружности равно радиусу окружности r. Таким образом, общее расстояние по этому пути составляет:

$$d=2r$$

Итак, чтобы ответить на вопрос, какой путь является более коротким, нам нужно сравнить длину дуги s и расстояние d:

$$\frac{s}{d}=\frac{\frac{\pi r}{2}}{2r}=\frac{\pi }{4}$$

Таким образом, отношение длины дуги к расстоянию при проходе по дуге окружности составляет $\frac{\pi }{4}$.

Мы можем сделать вывод, что при таких параметрах пути проход по дуге окружности является более коротким, так как отношение $\frac{s}{d}$ меньше 1. Однако, стоит отметить, что это решение применим только в том случае, если угол между домами А и Б составляет $\frac{\pi }{2}$ радиана. Если угол или параметры окружности будут другими, то это отношение может измениться, и другой путь может оказаться более коротким.