Какой промежуток содержит все корни уравнения log2(x²-x

Данное уравнение, \( \log_2(x^2-x) \), описывает логарифм с основанием 2 от выражения \(x^2-x\). Чтобы найти промежуток, который содержит все корни этого уравнения, мы можем разделить задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Задать допустимые значения для \(x\)
Для начала, нужно определить, в каких пределах значение \(x\) может принимать. В данном случае внутри логарифма у нас находится выражение \(x^2-x\). Логарифм определен только для положительных значений, поэтому мы можем предположить, что \(x^2 - x > 0\). Чтобы найти, в каких пределах значений \(x\) это неравенство выполнено, мы можем решить его.

Шаг 2: Решить неравенство \(x^2 - x > 0\)
Для решения данного неравенства, мы можем проанализировать знак выражения \(x^2 - x\) на интервалах, где значение \(x\) изменяется. Для этого найдем корни уравнения \(x^2 - x = 0\).

Найдем корни этого уравнения:
\[x^2 - x = 0\]
\[x(x-1) = 0\]

Из этого уравнения мы получаем два корня: \(x = 0\) и \(x = 1\).

Теперь мы можем нарисовать таблицу знаков, чтобы определить значение выражения \(x^2 - x\) на интервалах между и за пределами корней:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& (-\infty, 0) & (0, 1) & (1, +\infty) \\
\hline
x^2 - x & - & + & - \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы знаков видно, что выражение \(x^2 - x\) отрицательно на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((1, +\infty)\), а положительно на интервале \((0, 1)\).

Шаг 3: Найти промежуток, содержащий все корни
Теперь, когда мы знаем, где выражение \(x^2 - x\) отрицательно и положительно, мы можем определить промежуток, который содержит все корни уравнения \( \log_2(x^2-x) \).

Мы ищем интервал, где значение логарифма больше нуля, так как логарифм определен только для положительных значений внутри. Из таблицы знаков видно, что выражение \(x^2 - x\) положительно на интервале \((0, 1)\). Но обратите внимание, что у нас есть логарифм с основанием 2, и значит, мы хотим, чтобы \(x^2 - x > 0\) и \(x^2 - x \neq 1\). Так как значения \(x^2 - x\) равное единице не являются допустимыми в данном случае.

Итак, промежуток, содержащий все корни уравнения \( \log_2(x^2-x) \), это интервал \((0, 1)\).

Вы можете проверить это, взяв любое значение \(x\) внутри этого интервала и подставив его в уравнение \( \log_2(x^2-x) \). Вы должны получить ненулевое значение логарифма, что означает наличие корня в данном интервале.