Какой объем имеет правильная треугольная пирамида, у которой высота равна 6 и боковое ребро образует угол 30 градусов

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для объема пирамиды. Объем пирамиды можно найти по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \]

Где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания, \(h\) - высота пирамиды.

У нас даны две величины: значение высоты пирамиды (\(h = 6\)) и угол, который боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания (\(30^\circ\)).

Для решения задачи, нам нужно найти площадь основания пирамиды (\(S_{\text{основания}}\)). Для этого, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и прямым ребром пирамиды, которые образуют прямой угол.

Так как у нас имеется прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти площадь треугольника. В данном случае, нам понадобится нахождение катетов треугольника.

Из условия задачи, у нас есть следующая информация: высота пирамиды равна 6 и боковое ребро образует угол 30 градусов с плоскостью основания.

Так как боковое ребро образует угол 30 градусов с плоскостью основания, то получается, что прямой угол между прямым ребром и высотой пирамиды равен \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Теперь используя тригонометрические соотношения, мы можем найти катеты нашего прямоугольного треугольника. Катет, примыкающий к углу \(60^\circ\), будет равен \(h = 6\), а катет, примыкающий к углу \(30^\circ\), обозначим за \(x\).

Для нахождения катета \(x\), воспользуемся тригонометрическим соотношением:

\[\tan(30^\circ) = \frac{x}{h} \Rightarrow x = h \times \tan(30^\circ) \]

Подставим значения в формулу:

\[x = 6 \times \tan(30^\circ) = 6 \times \frac{{1}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{6\sqrt{3}}}{{3}} = 2\sqrt{3}\]

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times x \times h = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 6 = 6\sqrt{3} \]

Теперь, когда у нас есть площадь основания (\(S_{\text{основания}}\)) и высота пирамиды (\(h\)), мы можем легко найти объем пирамиды, используя формулу:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} \times 6 = 12\sqrt{3}\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды, у которой высота равна 6 и боковое ребро образует угол 30 градусов с плоскостью основания, равен \(12\sqrt{3}\) кубических единиц.