Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, у которого площади граней равны 4

Для решения этой задачи, нам необходимо воспользоваться формулой для вычисления длины диагонали прямоугольного параллелепипеда. Формула такая:

\[
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
\]

где \(d\) - длина диагонали, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины трех ребер, ведущих к вершине параллелепипеда.

Дано в условии, что площади граней равны 4. Для начала, нам нужно найти значения \(a\), \(b\) и \(c\). Рассмотрим каждую грань параллелепипеда по отдельности.

1. Пусть грань со сторонами \(a\) и \(b\) находится в основании параллелепипеда. Тогда площадь этой грани равна \(ab = 4\).

2. Грань с боковыми сторонами \(b\) и \(c\) имеет также площадь \(bc = 4\).

3. Аналогично, грань с боковыми сторонами \(a\) и \(c\) имеет площадь \(ac = 4\).

Теперь, мы можем найти значения длин ребер, используя найденные площади граней.

Из уравнения \(ab = 4\) найдем \(a = \dfrac{4}{b}\). Подставим это значение в уравнение \(ac = 4\) и получим \(\dfrac{4}{b} \cdot c = 4\). Упростим уравнение до \(c = b\).

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{cases} a = \dfrac{4}{b} \\ c = b \end{cases}
\]

Решим эту систему методом подстановки. Подставим \(c = b\) в первое уравнение:

\[
a = \dfrac{4}{b}
\]

Теперь, подставим это значение \(a\) во второе уравнение:

\[
b = \dfrac{4}{\dfrac{4}{b}} = b^2
\]

Упростим это уравнение:

\[
b^3 = 4
\]

Получили кубическое уравнение. Найдем корень этого уравнения:

\[
b = \sqrt[3]{4}
\]

Теперь, мы знаем значения \(a\), \(b\) и \(c\). Подставим их в формулу для длины диагонали:

\[
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{ \left(\dfrac{4}{b}\right)^2 + b^2 + b^2 }
\]

Подставим значение \(b = \sqrt[3]{4}\):

\[
d = \sqrt{ \left(\dfrac{4}{\sqrt[3]{4}}\right)^2 + \left(\sqrt[3]{4}\right)^2 + \left(\sqrt[3]{4}\right)^2 }
\]

Упростим это уравнение:

\[
d = \sqrt{ \dfrac{16}{\sqrt[3]{4}^2} + 2\sqrt[3]{4}^2 }
\]

\[
d = \sqrt{ \dfrac{16}{\dfrac{4}{\sqrt[3]{4}}} + 2\sqrt[3]{4^2} }
\]

\[
d = \sqrt{ \dfrac{16\sqrt[3]{4}}{4} + 2\sqrt[3]{16} }
\]

\[
d = \sqrt{4\sqrt[3]{4} + 2\sqrt[3]{16} }
\]

\[
d = \sqrt{\sqrt[3]{4} \cdot 4 + \sqrt[3]{16} \cdot 2 }
\]

\[
d = \sqrt{4\sqrt[3]{4} + 2\sqrt[3]{4} \cdot 2 }
\]

\[
d = \sqrt{(4 + 4) \sqrt[3]{4} }
\]

\[
d = \sqrt{8 \sqrt[3]{4} }
\]

Таким образом, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, у которого площади граней равны 4, равна \(\sqrt{8 \sqrt[3]{4}}\).