Какой многочлен имеет корни, противоположные корням многочлена 2х³-8х²+3х-4, при условии, что коэффициент при х³ равен?

Для начала, нам нужно найти корни многочлена \(2x^3 - 8x^2 + 3x - 4\). Для этого мы можем использовать факторизацию или другие методы решения кубических уравнений. Однако, здесь нам даны условия, что корни нового многочлена должны быть противоположными корням исходного многочлена. Это означает, что если рассмотреть корень \(a\) исходного многочлена, то корень нового многочлена будет -\(a\).

Теперь, когда нам дано условие, что коэффициент при \(x^3\) равен \(k\), мы можем построить новый многочлен.

Если исходный многочлен имеет корни \(a_1, a_2, a_3\), то новый многочлен будет иметь корни \(-a_1, -a_2, -a_3\).

Теперь нам нужно выразить новый многочлен через коэффициенты исходного многочлена. Если исходный многочлен имеет вид:

\[2x^3 - 8x^2 + 3x - 4\]

То новый многочлен будет иметь вид:

\[(2x - a_1)(2x - a_2)(2x - a_3)\]

На этом этапе мы видим, что многочлен строится с учетом корня \(a\) исходного многочлена, и у нас уже есть выражение для нового многочлена.

Теперь нам остается учесть условие, что коэффициент при \(x^3\) равен \(k\). Так как мы используем корни исходного многочлена и их противоположности, мы можем записать:

\[k = 2 \cdot (-a_1) \cdot (-a_2) \cdot (-a_3)\]

Или, с учетом того, что \((-1)^3 = -1\):

\[k = -2a_1 \cdot a_2 \cdot a_3\]

Итак, мы получаем итоговое выражение для нового многочлена:

\[(2x + 2a_1)(2x + 2a_2)(2x + 2a_3)\]

Или, раскрывая скобки:

\[(8x^3 + 8a_1x^2) (8x^3 + 8a_2x^2) (8x^3 + 8a_3x^2)\]

\[= 64x^9 + 128(a_1 + a_2 + a_3)x^8 + \ldots\]

Таким образом, новый многочлен будет иметь коэффициент \(a\) при \(x^3\) равный \(k = -2a_1 \cdot a_2 \cdot a_3\), а все остальные коэффициенты будут встречаться в произведениях различных корней исходного многочлена.

Если есть какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.