Справедливо ли равенство а) sin^2 45 - sin^2 30 = cos^2

Для начала давайте разберёмся с левой частью равенства. У нас имеется выражение \(\sin^2 45 - \sin^2 30\).

Согласно определению синуса, \(\sin x\) равно отношению противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, где угол \(x\) является одним из острых углов. Таким образом, мы можем записать \(\sin 45\) и \(\sin 30\) в виде дроби.

Значение \(\sin 45\) равно \(\frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом 45 градусов. По определению, каждый катет этого треугольника равен половине длины гипотенузы. Таким образом, мы получаем:

\[
\sin 45 = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}} = \frac{{\frac{{\text{длина гипотенузы}}}{{2}}}}{{\text{длина гипотенузы}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}
\]

Аналогично, мы можем вычислить \(\sin 30\) для угла 30 градусов. В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов, противолежащий катет равен половине длины гипотенузы, а гипотенуза равна удвоенному противолежащему катету.

\[
\sin 30 = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}} = \frac{{\frac{{\text{длина гипотенузы}}}{{2}}}}{{\text{длина гипотенузы}}} = \frac{{1}}{{2}}
\]

Теперь мы можем заменить \(\sin 45\) и \(\sin 30\) в исходном выражении:

\[
\sin^2 45 - \sin^2 30 = \left(\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\right)^2 - \left(\frac{{1}}{{2}}\right)^2 = \frac{{1}}{{2}} - \frac{{1}}{{4}}
\]

Для выполнения вычитания дробей, необходимо иметь общий знаменатель. В нашем случае знаменатели уже одинаковы, так что мы можем выполнить вычитание:

\[
\frac{{1}}{{2}} - \frac{{1}}{{4}} = \frac{{2}}{{4}} - \frac{{1}}{{4}} = \frac{{1}}{{4}}
\]

Получаем, что \(\sin^2 45 - \sin^2 30 = \frac{{1}}{{4}}\).

А теперь рассмотрим правую часть равенства \( \cos^2 \Theta\).

Аналогично, по определению, \(\cos \Theta\) равно отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике с углом \(\Theta\).

Теперь если мы сравним исходное выражение с определением косинуса, то у нас \(\Theta\) должно быть 30 градусов.

Так как мы сравниваем исходное выражение с \(\cos^2 \Theta\), то мы должны выразить \(\sin^2 45 - \sin^2 30\) через косинус, с помощью тригонометрической тождества:

\[
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x
\]

Тогда, мы можем записать следующее:

\[
\sin^2 45 - \sin^2 30 = 1 - \cos^2 45 - (1 - \cos^2 30) = 1 - \cos^2 45 - 1 + \cos^2 30 = \cos^2 30 - \cos^2 45
\]

Теперь мы можем сравнить исходное выражение с правой частью равенства. Правая часть равна \(\cos^2 \Theta\), где \(\Theta\) равно 30 градусов.

Исходное выражение \(\cos^2 30 - \cos^2 45\) совпадает с правой частью \(\cos^2 \Theta\).

Таким образом, равенство \(\sin^2 45 - \sin^2 30 = \cos^2 \Theta\) справедливо. В данном случае, \(\Theta\) равно 30 градусов.

Надеюсь, ответ был понятен и информативен! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задайте их!