Какой максимальный элемент имеет числовая последовательность (an), где n-й элемент задается формулой an=123n-2n^2?

Для решения данной задачи нам необходимо найти максимальное значение элемента в числовой последовательности, где каждый элемент задается формулой \(a_n = 123n - 2n^2\).

Для начала, давайте преобразуем данную формулу, чтобы она стала более удобочитаемой. Мы можем объединить подобные члены и записать формулу в следующем виде:
\[a_n = -2n^2 + 123n\]

Теперь давайте рассмотрим, как изменяется значение элементов последовательности при увеличении значения переменной \(n\). Чтобы найти максимальное значение, нам нужно найти такое значение \(n\), при котором значение элемента последовательности будет наибольшим.

Для этого найдем значение переменной \(n\), при котором производная \(a_n"\) равна нулю:
\[a_n" = -4n + 123 = 0\]

Решим уравнение относительно переменной \(n\):
\[-4n + 123 = 0\]
\[4n = 123\]
\[n = \frac{123}{4}\]
\[n = 30.75\]

Мы получили нецелое значение переменной \(n\). Поскольку данная последовательность определена для натуральных чисел, мы будем округлять значение переменной \(n\) до ближайшего целого числа. Округлим значение \(30.75\) до ближайшего целого числа, которым является \(31\).

Теперь найдем значение элемента последовательности при \(n = 31\):
\[a_{31} = -2 \cdot 31^2 + 123 \cdot 31\]
\[a_{31} = -2 \cdot 961 + 123 \cdot 31\]
\[a_{31} = -1922 + 3813\]
\[a_{31} = 1891\]

Таким образом, максимальный элемент в числовой последовательности составляет \(1891\), и он достигается при \(n = 31\).