Какие значения x удовлетворяют уравнению ctgx = -√3 при x в интервале от -π до 2π? Включите чертеж в ответ

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти значения \( x \), при которых тангенс обратного котангенса равен \( -\sqrt{3} \), и ограничиться интервалом от \( -\pi \) до \( 2\pi \). Давайте посмотрим, как мы можем это сделать.

Тангенс обратного котангенса представляет собой обратную функцию котангенса, и обозначается как \( \text{ctgx}^{-1} \) или \( \cot^{-1} \).

Чтобы найти значения \( x \), удовлетворяющие данному уравнению, мы можем применить метод обратных функций.

1. Сначала найдем значение обратного котангенса от \( -\sqrt{3} \). Мы знаем, что котангенс от \( 60^\circ \) равен \( -\sqrt{3} \) (так как котангенс это обратная функция тангенса). Значит,

\[ \cot^{-1}(-\sqrt{3}) = 60^\circ + k \cdot 180^\circ, \]

где \( k \) - любое целое число, позволяющее нам перемещаться по периодичности функции.

2. Теперь нам нужно найти все значения \( x \), которые соответствуют найденным значениям \( 60^\circ + k \cdot 180^\circ \) на интервале от \( -\pi \) до \( 2\pi \).

- На первый взгляд, кажется, что нам нужно просто добавить к каждому значению \( 60^\circ + k \cdot 180^\circ \) периодичность в \( 360^\circ \) для того, чтобы получить все значения \( x \) на интервале от \( -\pi \) до \( 2\pi \).

Однако, нужно быть внимательными, так как данный интервал включает в себя отрицательные углы и углы больше \( 2\pi \).

Для того, чтобы учесть отрицательные углы, мы можем вычесть из \( 360^\circ \) значения \( 60^\circ + k \cdot 180^\circ \):

\( 360^\circ - (60^\circ + k \cdot 180^\circ) \)

А для того, чтобы учесть углы больше \( 2\pi \), мы можем вычесть из значения \( 60^\circ + k \cdot 180^\circ \) целое число периодов, не входящих в интервал:

\( (60^\circ + k \cdot 180^\circ) - m \cdot 360^\circ \)

Где \( m \) - наибольшее целое число, такое что \( (60^\circ + k \cdot 180^\circ) - m \cdot 360^\circ \) все еще лежит в интервале от \( -\pi \) до \( 2\pi \).

В результате, мы получаем два интервала:

- Интервал для отрицательных углов: \( -\pi \) до \( 60^\circ \) (включительно)

- Интервал для положительных углов: \( 60^\circ \) до \( 60^\circ + k \cdot 180^\circ \), где \( k \) - любое целое число, такое что \( 60^\circ + k \cdot 180^\circ \) лежит в интервале от \( -\pi \) до \( 2\pi \).

Чтобы представить это в виде чертежа, мы можем построить график функции \( \cot^{-1}(-\sqrt{3}) \), где \( x \) находится по оси абсцисс, а значение \( \cot^{-1}(-\sqrt{3}) \) по оси ординат.

The graph should be drawn using suitable graph plotting software because it is difficult to draw graphs here.