Какие значения x удовлетворяют уравнению ctgx = -√3 при x в интервале от -π до 2π? Включите чертеж в ответ

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти значения $x$, при которых тангенс обратного котангенса равен $-\sqrt{3}$, и ограничиться интервалом от $-\pi$ до $2\pi$. Давайте посмотрим, как мы можем это сделать.

Тангенс обратного котангенса представляет собой обратную функцию котангенса, и обозначается как ${\text{ctgx}}^{-1}$ или ${\cot }^{-1}$.

Чтобы найти значения $x$, удовлетворяющие данному уравнению, мы можем применить метод обратных функций.

1. Сначала найдем значение обратного котангенса от $-\sqrt{3}$. Мы знаем, что котангенс от ${60}^{\circ }$ равен $-\sqrt{3}$ (так как котангенс это обратная функция тангенса). Значит,

$${\cot }^{-1}(-\sqrt{3})={60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ },$$

где $k$ - любое целое число, позволяющее нам перемещаться по периодичности функции.

2. Теперь нам нужно найти все значения $x$, которые соответствуют найденным значениям ${60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }$ на интервале от $-\pi$ до $2\pi$.

- На первый взгляд, кажется, что нам нужно просто добавить к каждому значению ${60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }$ периодичность в ${360}^{\circ }$ для того, чтобы получить все значения $x$ на интервале от $-\pi$ до $2\pi$.

Однако, нужно быть внимательными, так как данный интервал включает в себя отрицательные углы и углы больше $2\pi$.

Для того, чтобы учесть отрицательные углы, мы можем вычесть из ${360}^{\circ }$ значения ${60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }$:

${360}^{\circ }-({60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ })$

А для того, чтобы учесть углы больше $2\pi$, мы можем вычесть из значения ${60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }$ целое число периодов, не входящих в интервал:

$({60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ })-m\cdot {360}^{\circ }$

Где $m$ - наибольшее целое число, такое что $({60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ })-m\cdot {360}^{\circ }$ все еще лежит в интервале от $-\pi$ до $2\pi$.

В результате, мы получаем два интервала:

- Интервал для отрицательных углов: $-\pi$ до ${60}^{\circ }$ (включительно)

- Интервал для положительных углов: ${60}^{\circ }$ до ${60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }$, где $k$ - любое целое число, такое что ${60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }$ лежит в интервале от $-\pi$ до $2\pi$.

Чтобы представить это в виде чертежа, мы можем построить график функции ${\cot }^{-1}(-\sqrt{3})$, где $x$ находится по оси абсцисс, а значение ${\cot }^{-1}(-\sqrt{3})$ по оси ординат.

The graph should be drawn using suitable graph plotting software because it is difficult to draw graphs here.