Какой график получится функции y=cos(x+π/4)? Найдите значения x, при которых функция убывает и находит наименьшее

Для того чтобы построить график функции $y=\cos (x+\frac{\pi }{4})$, нам нужно понимать, как изменяется значения функции в зависимости от значения переменной $x$.

Давайте начнем с построения таблицы значений функции. Рассмотрим несколько значений $x$ и найдем соответствующие им значения $y$.

|x|y|
|-|-|
|0|$\cos (\frac{\pi }{4})$|
|$\frac{\pi }{4}$|$\cos (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4})$|
|$\frac{\pi }{2}$|$\cos (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4})$|
|$\pi$|$\cos (\pi +\frac{\pi }{4})$|
|...|...|

Чтобы найти значения $y$, мы должны подставить соответствующие значения $x$ в функцию $y=\cos (x+\frac{\pi }{4})$. Давайте это сделаем.

|x|y|
|-|-|
|0|$\cos (\frac{\pi }{4})$|
|$\frac{\pi }{4}$|$\cos (\frac{\pi }{2})$|
|$\frac{\pi }{2}$|$\cos (\frac{3\pi }{4})$|
|$\pi$|$\cos (\frac{5\pi }{4})$|
|...|...|

Теперь, чтобы построить график, мы должны нарисовать точки, соответствующие значениям из таблицы, на координатной плоскости. Затем мы соединяем эти точки гладкой кривой.

В данном случае, чтобы упростить построение графика, обратимся к свойствам функции косинуса. Мы знаем, что график функции косинуса повторяет основной участок графика между $0$ и $2\pi$. Также мы знаем, что сдвиг графика функции на константу не влияет на основной вид графика.

Таким образом, сдвигая график функции косинуса на $\frac{\pi }{4}$ влево, мы можем просто использовать участок графика косинуса между $-\frac{\pi }{4}$ и $\frac{7\pi }{4}$ в качестве основы и нарисовать его.

Теперь перейдем ко второй части задачи - нахождению значений $x$, при которых функция убывает и находит наименьшее значение.

Функция $y=\cos (x+\frac{\pi }{4})$ будет убывать тогда, когда ее аргумент $x+\frac{\pi }{4}$ увеличивается. Это происходит на интервалах, на которых $\cos (x+\frac{\pi }{4})$ принимает значения от $-1$ до $0$. Чтобы найти эти интервалы, мы можем рассмотреть график косинуса и сдвинуть его влево на $\frac{\pi }{4}$. Таким образом, интервалы, на которых функция убывает, будут соответствовать участкам графика просто косинуса.

Найдем наименьшее значение функции на заданном интервале. Мы знаем, что на графике косинуса наименьшее значение достигается в точке $\frac{3\pi }{2}$. Следовательно, на графике функции $y=\cos (x+\frac{\pi }{4})$ наименьшее значение будет достигаться в точке $x=\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$.

Итак, ответ на задачу:

1. График функции $y=\cos (x+\frac{\pi }{4})$ будет повторять график косинуса на участке между $-\frac{\pi }{4}$ и $\frac{7\pi }{4}$, сдвинутый влево на $\frac{\pi }{4}$.

2. Функция $y=\cos (x+\frac{\pi }{4})$ убывает на интервалах, где $\cos (x+\frac{\pi }{4})$ принимает значения от $-1$ до $0$. Эти интервалы будут соответствовать участкам графика косинуса.

3. Наименьшее значение функции достигается в точке $x=\frac{7\pi }{4}$.

Надеюсь, это объяснение понятно. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.