Какой график получится функции y=cos(x+π/4)? Найдите значения x, при которых функция убывает и находит наименьшее

Для того чтобы построить график функции \(y = \cos(x+\frac{\pi}{4})\), нам нужно понимать, как изменяется значения функции в зависимости от значения переменной \(x\).

Давайте начнем с построения таблицы значений функции. Рассмотрим несколько значений \(x\) и найдем соответствующие им значения \(y\).

|x|y|
|-|-|
|0|\(\cos(\frac{\pi}{4})\)|
|\(\frac{\pi}{4}\)|\(\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4})\)|
|\(\frac{\pi}{2}\)|\(\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})\)|
|\(\pi\)|\(\cos(\pi+\frac{\pi}{4})\)|
|...|...|

Чтобы найти значения \(y\), мы должны подставить соответствующие значения \(x\) в функцию \(y = \cos(x+\frac{\pi}{4})\). Давайте это сделаем.

|x|y|
|-|-|
|0|\(\cos(\frac{\pi}{4})\)|
|\(\frac{\pi}{4}\)|\(\cos(\frac{\pi}{2})\)|
|\(\frac{\pi}{2}\)|\(\cos(\frac{3\pi}{4})\)|
|\(\pi\)|\(\cos(\frac{5\pi}{4})\)|
|...|...|

Теперь, чтобы построить график, мы должны нарисовать точки, соответствующие значениям из таблицы, на координатной плоскости. Затем мы соединяем эти точки гладкой кривой.

В данном случае, чтобы упростить построение графика, обратимся к свойствам функции косинуса. Мы знаем, что график функции косинуса повторяет основной участок графика между \(0\) и \(2\pi\). Также мы знаем, что сдвиг графика функции на константу не влияет на основной вид графика.

Таким образом, сдвигая график функции косинуса на \(\frac{\pi}{4}\) влево, мы можем просто использовать участок графика косинуса между \(-\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{7\pi}{4}\) в качестве основы и нарисовать его.

Теперь перейдем ко второй части задачи - нахождению значений \(x\), при которых функция убывает и находит наименьшее значение.

Функция \(y = \cos(x+\frac{\pi}{4})\) будет убывать тогда, когда ее аргумент \(x+\frac{\pi}{4}\) увеличивается. Это происходит на интервалах, на которых \(\cos(x+\frac{\pi}{4})\) принимает значения от \(-1\) до \(0\). Чтобы найти эти интервалы, мы можем рассмотреть график косинуса и сдвинуть его влево на \(\frac{\pi}{4}\). Таким образом, интервалы, на которых функция убывает, будут соответствовать участкам графика просто косинуса.

Найдем наименьшее значение функции на заданном интервале. Мы знаем, что на графике косинуса наименьшее значение достигается в точке \(\frac{3\pi}{2}\). Следовательно, на графике функции \(y = \cos(x+\frac{\pi}{4})\) наименьшее значение будет достигаться в точке \(x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}\).

Итак, ответ на задачу:

1. График функции \(y = \cos(x+\frac{\pi}{4})\) будет повторять график косинуса на участке между \(-\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{7\pi}{4}\), сдвинутый влево на \(\frac{\pi}{4}\).

2. Функция \(y = \cos(x+\frac{\pi}{4})\) убывает на интервалах, где \(\cos(x+\frac{\pi}{4})\) принимает значения от \(-1\) до \(0\). Эти интервалы будут соответствовать участкам графика косинуса.

3. Наименьшее значение функции достигается в точке \(x = \frac{7\pi}{4}\).

Надеюсь, это объяснение понятно. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.